Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de la géométrie analytique en classe de Première Spécialité. Il mobilise deux piliers du programme : la manipulation des équations cartésiennes de droites et l'usage du produit scalaire pour caractériser l'orthogonalité et calculer des mesures d'angles. L'énoncé progresse logiquement de la construction de droites vers l'étude de leurs positions relatives et de leurs propriétés métriques.

Points de vigilance et prérequis

• Vecteurs directeurs et normaux : Une droite d'équation $ax + by + c = 0$ possède un vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$.
• Condition de parallélisme : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont colinéaires.
• Produit scalaire : Rappelez-vous les deux formules : l'expression analytique $xx' + yy'$ et l'expression géométrique $||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$.

Guide de résolution détaillé

1. Équation de (AB) : On calcule le vecteur directeur $\vec{AB}(5 - (-1); 0 - 3) = (6; -3)$. Un vecteur normal est donc $\vec{n}_{AB}(3; 6)$, ou plus simplement $(1; 2)$. L'équation est de la forme $x + 2y + c = 0$. En injectant les coordonnées de B(5;0), on trouve $5 + 0 + c = 0 \Rightarrow c = -5$. L'équation est $x + 2y - 5 = 0$.

2. Équation de D : Avec $\vec{n}(-1; 3)$ et C(9; 3), on a $-x + 3y + c = 0$. $-9 + 3(3) + c = 0 \Rightarrow c = 0$. L'équation est $-x + 3y = 0$.

3. Parallélisme : Les vecteurs normaux sont $\vec{n}_1(1; 2)$ et $\vec{n}_2(-1; 3)$. Le déterminant $1(3) - 2(-1) = 5 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.

4. Perpendicularité : On calcule le produit scalaire des vecteurs normaux : $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1(-1) + 2(3) = 5$. Comme le produit scalaire est non nul, les droites ne sont pas perpendiculaires.

5. Calcul de l'angle $\widehat{AEC}$ : On utilise les vecteurs $\vec{EA}(-4; 2)$ et $\vec{EC}(6; 2)$.
$\vec{EA} \cdot \vec{EC} = (-4)(6) + (2)(2) = -24 + 4 = -20$.
Par ailleurs, $\vec{EA} \cdot \vec{EC} = EA \times EC \times \cos(\widehat{AEC}) = 2\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} \times \cos(\theta) = 20\sqrt{2}\cos(\theta)$.
On a $\cos(\theta) = \frac{-20}{20\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. On en déduit $\widehat{AEC} = 135^\circ$.