Analyse de l'énoncé

Cet exercice de spécialité mathématiques porte sur l'application de la dérivation dans un contexte de géométrie dans l'espace. L'objectif est de trouver l'extremum (le maximum) d'une fonction modélisant le volume d'un cône de révolution dont la génératrice est fixe (20 cm). Le problème se décompose en trois phases classiques : l'établissement d'une relation géométrique (Pythagore), la mise en fonction de la grandeur recherchée (le volume), et enfin l'étude des variations de cette fonction pour identifier le maximum.

Points de vigilance et notions requises

• Le Théorème de Pythagore : Il est essentiel pour lier la hauteur $h$, le rayon $r$ et la génératrice. Une erreur de manipulation ici fausse toute la suite.
• Domaine de définition : La hauteur $h$ est une longueur physique, elle doit être positive. De plus, elle ne peut excéder la longueur de la génératrice (20 cm). On étudie donc $V$ sur l'intervalle $[0 ; 20]$.
• Dérivation : Savoir dériver un polynôme de la forme $ax - bx^3$.
• Signe de la dérivée : Ne pas oublier que le signe de $V'(h)$ détermine le sens de variation de $V(h)$.

Guide de résolution détaillé

1. Expression du rayon

Dans le triangle rectangle formé par la hauteur $h$, le rayon $r$ de la base et la génératrice de 20 cm, d'après le théorème de Pythagore, on a : $r^2 + h^2 = 20^2$. On en déduit $r^2 = 400 - h^2$. Comme $r$ est une longueur, $r = \sqrt{400 - h^2}$.

2. Démontrer l'expression du volume

La formule du volume est $V = \frac{1}{3} \mathcal{A} h$. L'aire de la base est $\mathcal{A} = \pi r^2$. En remplaçant $r^2$ par l'expression trouvée précédemment ($400 - h^2$), on obtient :
$V(h) = \frac{1}{3} \pi (400 - h^2) h$.
En développant $h$ dans la parenthèse, on trouve bien : $V(h) = \frac{\pi}{3}(400h - h^3)$.

3. Recherche du maximum (Optimisation)

Pour trouver le maximum, on dérive la fonction $V$ par rapport à $h$. La constante $\frac{\pi}{3}$ reste en facteur :
$V'(h) = \frac{\pi}{3}(400 - 3h^2)$.
On cherche quand cette dérivée s'annule sur $[0 ; 20]$ :
$400 - 3h^2 = 0 \iff 3h^2 = 400 \iff h^2 = \frac{400}{3} \iff h = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11,55$ cm.
La dérivée est une fonction du second degré (parabole tournée vers le bas). Elle est positive entre ses racines. $V(h)$ est donc croissante sur $[0 ; \frac{20}{\sqrt{3}}]$ puis décroissante. Le volume est maximal pour $h = \frac{20}{\sqrt{3}}$ cm.