Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction rationnelle classique de la forme $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. Il mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité : le calcul de la dérivée d'un quotient, l'étude du signe d'un trinôme du second degré, la détermination d'une équation de tangente et l'étude d'une position relative par l'étude de signe d'une différence.

Points de vigilance et notions requises

• La formule du quotient : Il est impératif de connaître par cœur la formule $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. L'erreur la plus fréquente réside dans l'oubli des parenthèses lors de la soustraction du terme $uv'$.
• Signe du trinôme : Pour étudier les variations, vous devrez calculer le discriminant $\Delta$ du numérateur. Rappelez-vous que le dénominateur $(x+1)^2$ est toujours positif sur l'intervalle d'étude, son signe n'influence donc pas celui de la dérivée.
• Position relative : Pour comparer $C_f$ et la droite $y=x$, on étudie toujours le signe de la différence $f(x) - x$.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
Posons $u(x) = x^2 + 1$ donc $u'(x) = 2x$.
Posons $v(x) = x + 1$ donc $v'(x) = 1$.
En appliquant la formule, on obtient :
$f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 1) \times 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}$. Le résultat est démontré.

2. Sens de variation :
Le signe de $f'(x)$ dépend uniquement du numérateur $x^2 + 2x - 1$.
Calcul du discriminant : $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = -1 - \sqrt{2}$ et $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = -1 + \sqrt{2}$.
Sur $]-1 ; +\infty[$, seule la racine $x_2 \approx 0,41$ est pertinente. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines (coefficient $a=1 > 0$).
Ainsi, $f$ est décroissante sur $]-1 ; -1 + \sqrt{2}]$ et croissante sur $[-1 + \sqrt{2} ; +\infty[$.

3. Équation de la tangente en 0 :
L'équation est $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.
$f(0) = \frac{0+1}{0+1} = 1$ et $f'(0) = \frac{0+0-1}{(0+1)^2} = -1$.
D'où $y = -1(x) + 1$, soit $y = -x + 1$.

4. Position relative :
Étudions $f(x) - x = \frac{x^2+1}{x+1} - x = \frac{x^2+1 - x(x+1)}{x+1} = \frac{x^2+1-x^2-x}{x+1} = \frac{1-x}{x+1}$.
Sur $]-1 ; +\infty[$, le dénominateur est positif. Le signe dépend de $1-x$.
Si $x < 1$, $f(x)-x > 0$, la courbe est au-dessus de la droite.
Si $x > 1$, $f(x)-x < 0$, la courbe est en dessous de la droite.