Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction combinant une fonction linéaire et une fonction exponentielle de la forme $f(x) = u(x)v(x)$. Il s'agit d'un classique du programme de Première Spécialité, sollicitant la maîtrise de la dérivation d'un produit et l'exploitation de la stricte positivité de la fonction exponentielle.

Points de vigilance et notions clés

• Formule du produit : Il est impératif d'utiliser $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, on identifie $u(x) = 60x$ et $v(x) = e^{-0.5x}$.
• Dérivée de $e^{ax}$ : Rappelez-vous que la dérivée de $x \mapsto e^{ax}$ est $x \mapsto ae^{ax}$. Dans ce cas, $a = -0,5$.
• Signe de l'exponentielle : Pour tout réel $X$, $e^X > 0$. C'est un argument fondamental pour l'étude du signe de $f'(x)$.
• Tangente horizontale : Une courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses là où le nombre dérivé s'annule ($f'(x) = 0$).

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
Posons $u(x) = 60x \implies u'(x) = 60$ et $v(x) = e^{-0.5x} \implies v'(x) = -0,5e^{-0.5x}$.
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 60e^{-0.5x} + 60x(-0,5e^{-0.5x})$.
En factorisant par $30e^{-0.5x}$, on obtient : $f'(x) = 30e^{-0.5x}(2 - x)$, ce qui est équivalent à $f'(x) = -30(x-2)e^{-0.5x}$. La démonstration est faite.

2. Signe de $f'(x)$ :
Puisque $e^{-0.5x} > 0$ et $30 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-(x-2)$.
Si $x < 2$, $f'(x) > 0$.
Si $x > 2$, $f'(x) < 0$.
Si $x = 2$, $f'(x) = 0$.

3. Tableau de variation :
La fonction est croissante sur $[0 ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; 10]$.
L'extremum (maximum) est atteint en $x=2$ avec $f(2) = 120e^{-1} \approx 44,15$.
Aux bornes : $f(0) = 0$ et $f(10) = 600e^{-5}$.

4. Tangente parallèle à l'axe des abscisses :
On cherche $x$ tel que $f'(x) = 0$. D'après la question précédente, c'est le point d'abscisse 2. Les coordonnées sont $(2 ; 120e^{-1})$.

5. Tangente en $x=0$ :
L'équation est $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.
$f'(0) = -30(0-2)e^{0} = 60$ et $f(0) = 0$.
L'équation réduite est donc $y = 60x$.