Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ définie sur $[0 ; +\infty[$. Il mêle des compétences de base sur les paraboles (variations, racines) et des compétences de dérivation (tangente). La partie finale est particulièrement intéressante car elle demande d'interpréter un résultat géométrique dans un contexte industriel (optimisation de découpe de logo).

Points de vigilance et notions clés

• Étude de signe et variations : Pour une fonction du second degré $ax^2+bx+c$, le sommet a pour abscisse $\alpha = -b/2a$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être parfaitement connue.
• Modélisation : Il faut comprendre que la droite de découpe (la diagonale) correspond à l'équation de la tangente trouvée précédemment.

Guide de résolution et Correction

1. Variations : $f$ est une fonction polynôme. Sa dérivée est $f'(x) = -2x + 2$. En résolvant $f'(x) = 0$, on trouve $x = 1$. Le coefficient $a = -1$ est négatif, donc la fonction est croissante sur $[0 ; 1]$ puis décroissante sur $[1 ; +\infty[$. Le sommet est $S(1 ; 5)$.

2. Intersection avec l'axe des abscisses (Point A) : On résout $-x^2 + 2x + 4 = 0$. $\Delta = 2^2 - 4(-1)(4) = 20$. Les racines sont $x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{-2} = 1 \mp \sqrt{5}$. On garde la valeur positive : $x_A = 1 + \sqrt{5} \approx 3,24$.

3. Équation de la tangente $\mathcal{T}$ en $x=2$ : On a $f(2) = -2^2 + 2(2) + 4 = 4$ et $f'(2) = -2(2) + 2 = -2$. L'équation est $y = -2(x - 2) + 4 = -2x + 8$.

4. Conclusion concrète : La plaque rectangulaire a pour dimensions $4$ par $8$. La diagonale qui part du point $(0;8)$ vers le point $(4;0)$ a pour coefficient directeur $m = (0-8)/(4-0) = -2$ et pour ordonnée à l'origine $8$. Son équation est donc $y = -2x + 8$, ce qui correspond exactement à la tangente $\mathcal{T}$. Puisqu'on admet que la courbe $\mathcal{C}$ est toujours en dessous de $\mathcal{T}$, le logo ne dépasse pas de la diagonale. Il est donc possible de placer deux logos identiques sans qu'ils ne se chevauchent.