Analyse de l'énoncé

Cet exercice de spécialité mathématiques en classe de Première porte sur deux thématiques majeures du programme : l'étude théorique des suites numériques (Partie A) et leur mise en application via l'algorithmique en langage Python (Partie B). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un modèle récursif à une forme explicite, à calculer des sommes de termes et à traduire un processus itératif mathématique en code informatique.

Points de vigilance et notions clés

• Suites géométriques : Il est crucial de reconnaître la forme \(v_{n+1} = q \times v_n\). La raison \(q\) et le premier terme déterminent tout le comportement de la suite.
• Somme de termes : La formule de la somme des termes d'une suite géométrique est souvent source d'erreurs, notamment sur le nombre de termes (puissance \(n\) ou \(n+1\)).
• Boucles Python : Dans une fonction utilisant range(n), la boucle s'exécute exactement \(n\) fois (de 0 à \(n-1\)). Il faut savoir suivre l'état des variables à chaque itération.

Guide de résolution et correction

Partie A : Étude de la suite \(v_n\)

1. La suite \(v_n\) est définie par \(v_{n+1} = \frac{2}{3}v_n\). C'est la définition caractéristique d'une suite géométrique de raison \(q = \frac{2}{3}\) et de premier terme \(v_0 = 1\).
2. D'après le cours, le terme général d'une suite géométrique est \(v_n = v_0 \times q^n\). Ici, \(v_n = 1 \times (\frac{2}{3})^n = (\frac{2}{3})^n\).
3. On cherche la somme des dix premiers termes, soit \(S = v_0 + v_1 + ... + v_9\). La formule est \(S = v_0 \frac{1-q^{10}}{1-q}\).
En remplaçant : \(S = 1 \times \frac{1-(\frac{2}{3})^{10}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{1-(\frac{2}{3})^{10}}{\frac{1}{3}} = 3(1-(\frac{2}{3})^{10})\).
À la calculatrice, \(S \approx 2,948\).

Partie B : Algorithmique et Python

4. Analysons l'exécution de terme(5). La variable w commence à 4. La boucle tourne 5 fois :
- i=0 : \(w = 2\times 4 - 3 = 5\)
- i=1 : \(w = 2\times 5 - 3 = 7\)
- i=2 : \(w = 2\times 7 - 3 = 11\)
- i=3 : \(w = 2\times 11 - 3 = 19\)
- i=4 : \(w = 2\times 19 - 3 = 35\)
La fonction renvoie donc 35.

5. Pour calculer la somme, il faut introduire une variable d'accumulation (souvent nommée s) :

def somme_termes(n) :
    w = 4
    s = 4 # On initialise avec le premier terme
    for i in range(n) :
        w = 2*w - 3
        s = s + w
    return s