Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des sujets de 2020 pour la spécialité mathématiques en Première, propose une étude de fonction modélisant un phénomène biologique : la concentration d'un médicament dans le sang. La fonction étudiée, $f(t) = t e^{-0,5t}$, est un produit d'une fonction affine et d'une fonction exponentielle. C'est un type d'exercice classique qui permet d'évaluer la maîtrise de la dérivation des produits et la manipulation de la fonction exponentielle.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés du programme de Première Spécialité sont nécessaires :

• Dérivation d'un produit : La formule $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable ici.
• Dérivée de $e^{at}$ : Il faut se rappeler que la dérivée de $g(t) = e^{at}$ est $g'(t) = a e^{at}$.
• Propriétés de l'exponentielle : Savoir que pour tout réel $x$, $e^x > 0$ est crucial pour l'étude de signe.
• Analyse de fonction : Faire le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Calcul de $f(4)$ :
En remplaçant $t$ par 4, on obtient $f(4) = 4 e^{-0,5 \times 4} = 4 e^{-2}$. La valeur exacte est $4e^{-2}$. À l'aide de la calculatrice, on trouve environ 0,54. Interprétation : Au bout de 4 heures, la concentration du médicament dans le sang est d'environ 0,54 mg.L$^{-1}$.

2. Calcul de la dérivée $f'(t)$ :
On pose $u(t) = t$ (donc $u'(t) = 1$) et $v(t) = e^{-0,5t}$ (donc $v'(t) = -0,5 e^{-0,5t}$).
En appliquant $(uv)' = u'v + uv'$, on a :
$f'(t) = 1 \times e^{-0,5t} + t \times (-0,5 e^{-0,5t})$.
En factorisant par $e^{-0,5t}$, on obtient bien : $f'(t) = (1 - 0,5t)e^{-0,5t}$.

3. Étude du signe de $f'(t)$ :
Puisque pour tout $t \in [0 ; +\infty[$, $e^{-0,5t} > 0$, le signe de $f'(t)$ dépend uniquement de celui de $(1 - 0,5t)$.
$1 - 0,5t = 0 \iff 0,5t = 1 \iff t = 2$.
$1 - 0,5t > 0 \iff t < 2$.
La dérivée est positive sur $[0 ; 2]$ et négative sur $[2 ; +\infty[$.

4. Tableau de variations :
La fonction $f$ est croissante sur $[0 ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; +\infty[$. On notera que $f(0) = 0$.

5. Concentration maximale :
Le maximum est atteint pour $t = 2$. La concentration maximale exacte est $f(2) = 2 e^{-0,5 \times 2} = 2 e^{-1}$ mg.L$^{-1}$.
La valeur approchée est $2 e^{-1} \approx 0,74$ mg.L$^{-1}$.