Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la géométrie repérée, un pilier du programme de Première Spécialité Mathématiques. L'objectif est de mobiliser les outils analytiques (milieu, distance, équation de droite) pour caractériser le cercle circonscrit à un triangle $ABC$. La démarche repose sur la définition géométrique du centre du cercle : il s'agit du point d'intersection des médiatrices du triangle.

Points de vigilance et notions requises

• Équation de droite : Savoir vérifier l'appartenance d'un point à une droite et identifier un vecteur normal.
• Propriété de la médiatrice : Elle passe par le milieu d'un segment et lui est perpendiculaire.
• Calcul de distances : Utilisation de la formule $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ pour obtenir le rayon.
• Systèmes d'équations : L'intersection de deux droites nécessite de résoudre un système (souvent simple).

Correction détaillée

1. Construction : On place les points $A(-3; 1)$, $B(3; 5)$ et $C(7; 1)$.

2. Médiatrice de $[AB]$ : Soit $M$ le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont $(\frac{-3+3}{2}; \frac{1+5}{2}) = (0; 3)$. En remplaçant dans $\Delta$ : $3(0) + 2(3) - 6 = 0$. Le point $M$ appartient à $\Delta$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(6; 4)$. Le vecteur normal à $\Delta$ est $\vec{n}(3; 2)$. On remarque que $\vec{AB} = 2\vec{n}$, donc $\vec{AB}$ est normal à $\Delta$. $\Delta$ est bien la médiatrice.

3. Milieu $B'$ de $[AC]$ : $x_{B'} = \frac{-3+7}{2} = 2$ et $y_{B'} = \frac{1+1}{2} = 1$. Soit $B'(2; 1)$.

4. Centre $I$ : Comme $A$ et $C$ ont la même ordonnée ($y=1$), la droite $(AC)$ est horizontale. Sa médiatrice est donc la droite verticale passant par $B'$, d'équation $x = 2$. Le point $I$ appartient à cette médiatrice et à $\Delta$. On injecte $x=2$ dans $3x + 2y - 6 = 0$ : $3(2) + 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$. Le centre est $I(2; 0)$.

5. Rayon : $R = IA = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$.