Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice est un classique incontournable du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il combine deux piliers fondamentaux : l'étude du second degré et l'application de la dérivation pour l'étude de variations d'une fonction rationnelle. L'objectif est de démontrer comment un trinôme du second degré intervient directement dans l'analyse de la pente d'une courbe représentative.

Points de vigilance pour réussir

• Le domaine de définition : L'étude se restreint à l'intervalle $]-2 ; +\infty[$. Il faut veiller à ne considérer que les racines du polynôme situées dans cet intervalle lors de la construction du tableau de variations.
• La formule de dérivation du quotient : L'utilisation rigoureuse de la formule $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ est cruciale. Une erreur de signe sur le numérateur est fréquente.
• Le signe du dénominateur : Rappelez-vous qu'un carré est toujours positif ou nul. Ici, $(x+2)^2 > 0$ sur l'intervalle d'étude, ce qui simplifie l'étude du signe de $f'(x)$.

Correction détaillée pas à pas

1. Signe de $P(x) = x^2 + 4x + 3$ :
On calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-4-2}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{-4+2}{2} = -1$.
Le coefficient $a=1$ est positif, donc $P(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

2. Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
Posons $u(x) = x^2 + x - 1$ ($u'(x) = 2x + 1$) et $v(x) = x + 2$ ($v'(x) = 1$).
En appliquant $(u'v - uv')/v^2$, on obtient :
$f'(x) = \frac{(2x+1)(x+2) - (x^2+x-1)}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 4x + x + 2 - x^2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x+2)^2}$.
On retrouve bien $f'(x) = \frac{P(x)}{(x+2)^2}$.

3. Variations de $f$ :
Sur $]-2 ; +\infty[$, le dénominateur est strictement positif. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de $P(x)$.
La seule racine de $P(x)$ dans notre intervalle est $-1$.
Sur $]-2 ; -1[$, $f'(x) < 0$ (fonction décroissante).
Sur $]-1 ; +\infty[$, $f'(x) > 0$ (fonction croissante).

4. Minimum :
Le minimum est atteint en $x = -1$. Sa valeur exacte est $f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) - 1}{-1+2} = \frac{1-1-1}{1} = -1$.

5. Coefficient directeur de la tangente :
Il correspond à $f'(2)$.
$f'(2) = \frac{2^2 + 4(2) + 3}{(2+2)^2} = \frac{4+8+3}{16} = \frac{15}{16}$.