Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM balaie des notions fondamentales de la géométrie analytique et du produit scalaire en classe de Première Spécialité. Il teste la capacité à extraire des informations d'une équation cartésienne de droite, à manipuler des égalités vectorielles pour déduire des positions relatives, et à appliquer la condition d'orthogonalité.

Points de vigilance

• Équation cartésienne : Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$ et un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$.
• Orthogonalité : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ($xx' + yy' = 0$ dans un repère orthonormé).
• Relation de Chasles : Essentielle pour transformer les égalités vectorielles de la Question 3.

Correction Détaillée

Question 1 : L'équation est $2x - 3y + 1 = 0$. Ici $a=2$ et $b=-3$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a) = (3; 2)$. La réponse exacte est la b.

Question 2 : Pour la même droite, un vecteur normal est $\vec{n}(a; b) = (2; -3)$. (Note : Si cette option n'apparaît pas explicitement, on cherche un vecteur colinéaire. Ici, l'énoncé semble présenter une coquille dans les options fournies, mais la méthode reste l'identification des coefficients $a$ et $b$).

Question 3 : On a $\vec{EB} = \vec{BA}$, donc $B$ est le milieu de $[EA]$, ce qui implique $\vec{AE} = 2\vec{AB}$. On a aussi $\vec{ED} = 2\vec{BC}$.
Calculons $\vec{AD} = \vec{AE} + \vec{ED} = 2\vec{AB} + 2\vec{BC} = 2(\vec{AB} + \vec{BC}) = 2\vec{AC}$.
Comme $\vec{AD} = 2\vec{AC}$, le point $C$ est le milieu du segment $[AD]$. La réponse exacte est la c.

Question 4 : $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-x+4) \times 9 + 7 \times (2x-5) = -9x + 36 + 14x - 35 = 5x + 1$.
Les vecteurs sont orthogonaux si $5x + 1 = 0 \iff x = -1/5$. La réponse exacte est la c.

Question 5 : Calculons les coordonnées des vecteurs :
$\vec{AC}(3 - (-1); -1 - (-2)) = \vec{AC}(4; 1)$
$\vec{BD}(-3 - 2; 4 - 0) = \vec{BD}(-5; 4)$
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 4 \times (-5) + 1 \times 4 = -20 + 4 = -16$. La réponse exacte est la a.