Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la géométrie analytique dans le plan, un pilier du programme de Première Spécialité. Il mobilise des compétences clés : l'utilisation de l'équation cartésienne d'un cercle, la caractérisation d'une tangente par l'orthogonalité (produit scalaire) et la résolution d'équations du second degré pour trouver des points d'intersection.

Points de vigilance et notions de cours

• Équation de cercle : Un point $M(x, y)$ appartient au cercle de centre $A(x_A, y_A)$ et de rayon $R$ si et seulement si $AM^2 = R^2$, soit $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.
• Tangente en un point : La tangente au cercle au point $B$ est la droite passant par $B$ et perpendiculaire au rayon $[AB]$. Son vecteur normal est donc le vecteur $\vec{AB}$.
• Intersection avec les axes : L'axe des ordonnées est caractérisé par l'équation $x = 0$. L'intersection se trouve en remplaçant $x$ par $0$ dans l'équation du cercle.

Guide de résolution détaillé

1. Équation du cercle :
Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $A(2, 5)$ et rayon $R=5$. Son équation est :
$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y = 25 - 4 - 25 = -4$. On retrouve bien l'énoncé.

2. Vérification du point B :
On remplace $x$ par 5 et $y$ par 9 dans l'équation : $5^2 + 9^2 - 4(5) - 10(9) = 25 + 81 - 20 - 90 = 106 - 110 = -4$. Le point $B$ appartient donc au cercle.

3. Propriété de la tangente :
Par définition géométrique, la tangente en un point $B$ d'un cercle est la droite passant par $B$ qui est perpendiculaire au rayon $[AB]$. Ainsi, la droite $(AB)$ est la normale à la tangente au point $B$.

4. Équation de la tangente :
Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(5-2 ; 9-5) = (3 ; 4)$. C'est un vecteur normal à la tangente. L'équation de la tangente est de la forme $3x + 4y + c = 0$. Comme $B(5, 9)$ est sur la droite : $3(5) + 4(9) + c = 0 \Rightarrow 15 + 36 + c = 0 \Rightarrow c = -51$. L'équation est $3x + 4y - 51 = 0$.

5. Intersection avec l'axe des ordonnées :
On pose $x = 0$ dans l'équation du cercle : $0^2 + y^2 - 4(0) - 10y = -4 \Rightarrow y^2 - 10y + 4 = 0$.
Le discriminant est $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(4) = 100 - 16 = 84$.
Les solutions sont $y = \frac{10 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 5 \pm \sqrt{21}$.
Les points sont $(0 ; 5 + \sqrt{21})$ et $(0 ; 5 - \sqrt{21})$.