Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de 5 questions indépendantes. Il est représentatif des épreuves communes de la spécialité mathématiques en classe de Première. Ce format balaie une large partie du programme : les suites numériques, la géométrie repérée, la trigonométrie, la dérivation (avec exponentielle) et l'étude des fonctions polynômes du second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Suites : Il faut savoir manipuler les puissances pour transformer l'expression générale d'une suite et identifier sa nature (arithmétique ou géométrique).
• Géométrie repérée : La connaissance de la relation entre vecteur normal et équation cartésienne d'une droite ($ax + by + c = 0$) est indispensable.
• Trigonométrie : La maîtrise du cercle trigonométrique et des formules de symétrie (comme $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$) est cruciale.
• Dérivation : Application de la formule du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ avec la fonction exponentielle.
• Second degré : Savoir exploiter la forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ pour déterminer les variations, le sommet et les racines.

Correction détaillée

Question 1 : Réécrivons $u_n$. $u_n = 3 \times \frac{10^n}{2 \times 2^n} = \frac{3}{2} \times (\frac{10}{2})^n = 1,5 \times 5^n$. On reconnaît une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1,5$ et de raison $q=5$. Réponse D.

Question 2 : Calculons les coordonnées du vecteur normal $\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)$. $\vec{AB}(2 - (-2) ; 4 - 1) = (4 ; 3)$. L'équation est de la forme $4x + 3y + c = 0$. En passant par $C(-1 ; 1)$ : $4(-1) + 3(1) + c = 0 \Rightarrow -4 + 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1$. L'équation est $4x + 3y + 1 = 0$. Réponse B.

Question 3 : $2\cos(x + \pi) + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos(x + \pi) = -1/2$. Or $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$, donc $-\cos(x) = -1/2$, soit $\cos(x) = 1/2$. Sur l'intervalle $[0 ; \pi/2]$, la seule solution est $x = \pi/3$. Réponse A.

Question 4 : $f$ est de la forme $u/v$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=1+e^x$. $f'(x) = \frac{e^x(1+e^x) - e^x(e^x)}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$. Réponse B.

Question 5 : La fonction est sous forme canonique avec $a = -0,5$, $\alpha = -2$ et $\beta = 4,5$. Comme $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas (maximum en $x = -2$). Cherchons les racines : $-0,5(x+2)^2 + 4,5 = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = 9$. Donc $x+2=3$ ou $x+2=-3$, d'où $x=1$ ou $x=-5$. Le signe est négatif à l'extérieur des racines. Réponse C.