Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction polynomiale du troisième degré $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 20$ sur l'intervalle $[-4 ; 3]$. L'objectif est de lier la lecture graphique à l'analyse algébrique en utilisant l'outil fondamental de la classe de Première Spécialité : la dérivation. On mobilise ici des compétences de calcul de dérivée, de résolution d'équations du second degré et de détermination d'équations de tangentes.

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul de la dérivée : Rappelez-vous les formules $(x^n)' = nx^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation.
• Signe du trinôme : Pour étudier les variations de $f$, il faut déterminer le signe de $f'(x)$. Comme $f'$ est ici un trinôme du second degré, l'usage du discriminant $\Delta$ est incontournable.
• Lien Dérivée/Variations : Si $f'(x) > 0$, alors $f$ est croissante ; si $f'(x) < 0$, alors $f$ est décroissante.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur pour le point d'abscisse $a$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Lecture graphique : En observant la courbe, on repère un maximum local pour $x = -3$ (ordonnée environ 7) et un minimum local pour $x = 1$ (ordonnée environ -25).

2. Expression de la dérivée : En dérivant terme à terme, on obtient :
$f'(x) = 3x^2 + 3 \times 2x - 9 = 3x^2 + 6x - 9$.

3. Étude du signe de la dérivée : Le trinôme est $3x^2 + 6x - 9$. Calculons son discriminant :
$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \times 3 \times (-9) = 36 + 108 = 144$.
$\sqrt{\Delta} = 12$. Les racines sont :
$x_1 = \frac{-6 - 12}{2 \times 3} = -3$ et $x_2 = \frac{-6 + 12}{6} = 1$.
Le coefficient $a=3$ étant positif, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

4. Tableau de variations :
Sur $[-4 ; -3]$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante.
Sur $[-3 ; 1]$, $f'(x) \le 0$, donc $f$ est décroissante.
Sur $[1 ; 3]$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante.
On retrouve bien les extremums aux points d'abscisses $-3$ et $1$.

5. Équation de la tangente $\mathcal{T}$ en $x=0$ :
On calcule $f(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 9(0) - 20 = -20$.
On calcule $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$.
L'équation est $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit $y = -9x - 20$.