Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des sujets de Première Spécialité de 2020, propose une mise en situation concrète autour de l'optimisation géométrique. L'objectif est de minimiser la surface de matériau nécessaire pour fabriquer une boîte de rangement d'un volume fixe. Ce type de problème est un classique du programme, faisant le pont entre la géométrie dans l'espace (calcul de volumes et d'aires) et l'analyse de fonctions (dérivation et recherche d'extremum).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont indispensables :

• Maîtrise des formules de géométrie : Il faut savoir exprimer le volume d'un parallélépipède ($V = L \times l \times h$) et son aire totale. Attention ici : la boîte n'a pas de couvercle, donc la base n'est comptée qu'une seule fois.
• Substitution de variables : L'énoncé impose un volume constant. Cela permet d'exprimer une variable ($y$) en fonction de l'autre ($x$), transformant ainsi un problème à deux variables en une fonction d'une seule variable $f(x)$.
• Dérivation de fonctions usuelles : Il faut savoir dériver une somme de fonctions, une constante, et surtout la fonction inverse (la dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$).
• Étude du signe de la dérivée : Le minimum d'une fonction est atteint là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de $y$ pour $x=20$ :
Le volume est donné par $V = x \times y \times h = 10000$. Avec $h = 16$ et $x = 20$, on a :
$20 \times y \times 16 = 10000 \Rightarrow 320y = 10000 \Rightarrow y = \frac{10000}{320} = 31,25$ cm.

2. Démontrer l'expression de $f(x)$ :
L'aire $f(x)$ de la boîte sans couvercle est composée de la base (aire $xy$) et des quatre faces latérales (deux de $x \times 16$ et deux de $y \times 16$).
$f(x) = xy + 32x + 32y$.
Or, on sait que $16xy = 10000$, d'où $y = \frac{10000}{16x} = \frac{625}{x}$.
En substituant $y$ dans l'aire : $f(x) = x(\frac{625}{x}) + 32x + 32(\frac{625}{x})$.
$f(x) = 625 + 32x + \frac{20000}{x}$. C'est bien la formule attendue.

3. Recherche de l'aire minimale :
On dérive $f(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ :
$f'(x) = 32 - \frac{20000}{x^2} = \frac{32x^2 - 20000}{x^2}$.
On cherche $x$ tel que $f'(x) = 0$ :
$32x^2 = 20000 \Rightarrow x^2 = 625 \Rightarrow x = \sqrt{625} = 25$ (car $x > 0$).
Pour $x < 25$, $f'(x) < 0$ (la fonction décroît) et pour $x > 25$, $f'(x) > 0$ (la fonction croît). Le minimum est donc atteint en $x = 25$.
On calcule alors $y = \frac{625}{25} = 25$. Les dimensions optimales sont donc une base carrée de $25 \times 25$ cm.