Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction de coût moyen modélisée par une fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - 15x + 400}{x}$ sur l'intervalle $[5 ; 60]$. L'objectif est de mobiliser les outils d'analyse de la classe de Première : calcul d'images, résolution d'équations du second degré et recherche d'extremum via la dérivation.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul de l'image : Attention aux unités (centaines d'euros).
• Second degré : Savoir transformer une équation fractionnaire en une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$.
• Optimisation : Savoir dériver une fonction (ici de la forme $u/v$ ou plus simplement en décomposant le quotient) et étudier le signe de la dérivée pour trouver le minimum.

Guide de résolution détaillé

1. Coût moyen pour 5 m³ :
On calcule $f(5) = \frac{5^2 - 15 \times 5 + 400}{5} = \frac{25 - 75 + 400}{5} = \frac{350}{5} = 70$.
Le coût moyen pour 5 m³ est donc de 70 centaines d'euros, soit 7 000 €.

2. Recherche du volume pour un coût de 4 300 € :
On cherche $x$ tel que $f(x) = 43$.
$\frac{x^2 - 15x + 400}{x} = 43 \iff x^2 - 15x + 400 = 43x \iff x^2 - 58x + 400 = 0$.
Calcul du discriminant : $\Delta = (-58)^2 - 4 \times 1 \times 400 = 3364 - 1600 = 1764$.
$\sqrt{1764} = 42$. Les solutions sont $x_1 = \frac{58-42}{2} = 8$ et $x_2 = \frac{58+42}{2} = 50$.
Il faut fabriquer 8 m³ ou 50 m³ pour un coût moyen de 43 centaines d'euros.

3. Minimum du coût moyen :
Pour dériver plus facilement, on écrit $f(x) = x - 15 + \frac{400}{x}$.
La dérivée est $f'(x) = 1 - \frac{400}{x^2} = \frac{x^2 - 400}{x^2}$.
Sur $[5 ; 60]$, $x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x^2 - 400$.
$x^2 - 400 = 0 \iff x = 20$ (car $x > 0$).
La fonction décroît sur $[5 ; 20]$ et croît sur $[20 ; 60]$. Le minimum est atteint pour $x = 20$.
Le coût minimal est $f(20) = \frac{20^2 - 15 \times 20 + 400}{20} = \frac{400 - 300 + 400}{20} = \frac{500}{20} = 25$ centaines d'euros (soit 2 500 €).