Analyse de l'énoncé : Modéliser une évolution réelle
Cet exercice de spécialité mathématiques porte sur l'étude comparée de deux évolutions de loyers, modélisées par des suites numériques classiques. Il s'agit d'un problème concret qui mobilise des compétences en calcul de termes, en programmation Python, en modélisation fonctionnelle et en calcul de sommes de termes.
- Le premier contrat présente une augmentation fixe de 5 € chaque mois. C'est la définition même d'une suite arithmétique de raison $r = 5$.
- Le second contrat propose une augmentation de 2 % par mois. Une évolution en pourcentage se traduit par la multiplication par un coefficient multiplicateur : ici $1 + \frac{2}{100} = 1,02$. Il s'agit donc d'une suite géométrique de raison $q = 1,02$.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il faut être vigilant sur l'indice de départ ($n=1$). Les formules du cours doivent être adaptées : $u_n = u_1 + (n-1)r$ pour l'arithmétique et $v_n = v_1 \times q^{n-1}$ pour la géométrique. L'utilisation de la boucle Python range(1, n) est également cruciale : elle itère $n-1$ fois, ce qui permet de passer de l'indice 1 à l'indice $n$. Enfin, pour la dernière question, la notion de somme de termes est indispensable car on demande le coût total sur 36 mois.
Correction détaillée
1. Calcul des premiers loyers :
- Contrat 1 : $u_2 = u_1 + 5 = 205$ € et $u_3 = 205 + 5 = 210$ €.
- Contrat 2 : $v_2 = v_1 \times 1,02 = 204$ € et $v_3 = 204 \times 1,02 = 208,08$ €.
2. Algorithmique en Python :
- Ligne 5 :
u = u + 5 - Ligne 6 :
v = v * 1.02 - Pour $n=4$, le programme affiche $u_4$ et $v_4$. $u_4 = 200 + 3 \times 5 = 215$. $v_4 = 200 \times 1,02^3 \approx 212,24$.
3. Expressions de $u_n$ et $v_n$ :
- Pour tout $n \geqslant 1$, $u_n = 200 + 5(n-1)$.
- Pour tout $n \geqslant 1$, $v_n = 200 \times 1,02^{n-1}$.
4. Comparaison du coût total :
La durée du bail est de 3 ans, soit $n = 36$ mois.
- Somme contrat 1 : $S_1 = 36 \times \frac{u_1 + u_{36}}{2}$. Avec $u_{36} = 200 + 35 \times 5 = 375$, on a $S_1 = 36 \times \frac{200 + 375}{2} = 10\,350$ €.
- Somme contrat 2 : $S_2 = v_1 \times \frac{1 - q^{36}}{1 - q} = 200 \times \frac{1 - 1,02^{36}}{1 - 1,02} \approx 10\,398,87$ €.
Conclusion : Le premier contrat coûte moins cher sur l'ensemble du bail.