Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques, issu des épreuves de 2020, traite de la géométrie analytique dans un repère orthonormé. L'objectif est de manipuler les équations de cercle et de déterminer les coordonnées de points caractéristiques du triangle, notamment les milieux de segments et les pieds des hauteurs. Ce problème illustre indirectement la propriété du cercle d'Euler (ou cercle des neuf points), qui passe par les milieux des côtés et les pieds des hauteurs d'un triangle.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales du programme de Première doivent être maîtrisées :

• Coordonnées du milieu : Le milieu $M$ d'un segment $[AB]$ a pour coordonnées $x_M = \frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A+y_B}{2}$.
• Distance entre deux points : La distance $AB$ est donnée par $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.
• Équation cartésienne d'un cercle : Un cercle de centre $I(a, b)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.
• Orthogonalité et Produit Scalaire : Pour trouver le pied d'une hauteur, on utilise le fait que le vecteur $\vec{AH_A}$ est orthogonal au vecteur $\vec{BC}$.

Correction détaillée

1. Étude du cercle $\Gamma$

a. On nous dit que le cercle passe par $A'$, milieu de $[BC]$. Calculons les coordonnées de $A'$ : $x_{A'} = \frac{6+0}{2} = 3$ et $y_{A'} = \frac{0+6}{2} = 3$, donc $A'(3; 3)$. Le rayon $R$ est la distance $IA$ avec $I(1; 2)$. $R^2 = (3-1)^2 + (3-2)^2 = 2^2 + 1^2 = 5$. Le rayon est donc $R = \sqrt{5}$.

b. L'équation du cercle de centre $I(1; 2)$ et de rayon $\sqrt{5}$ est bien $(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{5})^2$, soit $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$.

2. Propriétés des hauteurs

a. Pour vérifier si $O(0,0)$ est sur le cercle, on remplace $x$ et $y$ par $0$ dans l'équation : $(0-1)^2 + (0-2)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$. L'égalité est vérifiée, donc $O \in \Gamma$.

b. Le point $H_A(x; y)$ appartient à la droite $(BC)$. L'équation de $(BC)$ est $y = -x + 6$ (pente $\frac{6-0}{0-6} = -1$ et ordonnée à l'origine 6). Comme $H_A$ est le pied de la hauteur issue de $A(-2; 0)$, le vecteur $\vec{AH_A}(x+2; y)$ est orthogonal à $\vec{BC}(-6; 6)$. Le produit scalaire donne : $-6(x+2) + 6y = 0 \Rightarrow -x - 2 + y = 0 \Rightarrow y = x + 2$. En résolvant le système $y = -x + 6$ et $y = x + 2$, on trouve $2x = 4$, soit $x=2$, puis $y=4$. Ainsi $H_A(2; 4)$.

c. Pour $H_A(2; 4)$ : $(2-1)^2 + (4-2)^2 = 1^2 + 2^2 = 5$. Le point $H_A$ est donc bien sur le cercle $\Gamma$.