Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des évaluations de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'étude complète d'une fonction polynomiale du troisième degré : $f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$. L'objectif est de mobiliser les outils fondamentaux de l'analyse : le calcul de la dérivée, l'étude du signe d'un trinôme du second degré, et l'équation de la tangente à une courbe. La dernière question introduit une notion de recherche de point d'intersection, demandant une résolution d'équation algébrique simple.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :

• Règles de dérivation : Savoir que la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.
• Le second degré : Maîtriser le calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour déterminer les racines de $f'(x)$.
• Lien signe de la dérivée / variations : Se souvenir que si $f'(x) > 0$, alors $f$ est croissante.
• Équation de la tangente : Appliquer la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Détermination de la dérivée :
La fonction $f$ est une somme de termes de la forme $ax^n$. On dérive terme à terme : $f'(x) = 2(3x^2) + 2(2x) - 2(1) + 0 = 6x^2 + 4x - 2$.

2. Signe de la dérivée :
Il s'agit d'un trinôme du second degré avec $a=6, b=4, c=-2$. Calculons le discriminant : $\Delta = 4^2 - 4(6)(-2) = 16 + 48 = 64$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux racines distinctes : $x_1 = \frac{-4-8}{12} = -1$ et $x_2 = \frac{-4+8}{12} = \frac{1}{3}$. Le coefficient $a=6$ étant positif, $f'(x)$ est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.

3. Tableau de variations :
Sur $[-3 ; -1]$, $f'(x) \ge 0$ (croissante). Sur $[-1 ; 1/3]$, $f'(x) \le 0$ (décroissante). Sur $[1/3 ; 3]$, $f'(x) \ge 0$ (croissante).
Valeurs remarquables : $f(-3) = -29$, $f(-1) = 3$, $f(1/3) \approx 0,63$, $f(3) = 67$.

4. Tangente et intersection :
a. En $a=0$ : $f(0) = 1$ et $f'(0) = -2$. La tangente $\mathcal{T}$ a pour équation $y = -2(x-0) + 1$, soit $y = -2x + 1$.
b. Pour trouver B, on résout $f(x) = -2x + 1$ soit $2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = -2x + 1$. Cela se simplifie en $2x^3 + 2x^2 = 0$, soit $2x^2(x+1) = 0$. Les solutions sont $x=0$ (point A) et $x=-1$. Le point B a donc pour abscisse $-1$. Puisque $f(-1)=3$, le point B est $(-1 ; 3)$.