Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité traite de la modélisation d'une évolution annuelle par une suite géométrique. L'énoncé présente une situation réelle : la production mondiale de plastique avec une croissance constante de 3,7 %. Il demande de manipuler les concepts fondamentaux des suites : nature de la suite, expression fonctionnelle, sens de variation et somme de termes.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de $t\%$ correspond à une multiplication par $1 + \frac{t}{100}$. Ici, $+3,7\%$ donne une raison $q = 1,037$.
- Indice et année : L'année 2000 correspond à $n=0$. Il faut être vigilant pour l'année 2019 qui correspond à $n=19$.
- Somme d'une suite géométrique : La formule est $S = u_0 \times \frac{1-q^N}{1-q}$ où $N$ est le nombre de termes. Pour aller de $n=0$ à $n=19$, il y a 20 termes.
- Pourcentages successifs : Pour la question 5, il faut appliquer 20 % à la somme totale, puis 30 % (le complément de 70 %) à ce résultat.
Correction détaillée
1. Chaque année, la production est multipliée par $1 + \frac{3,7}{100} = 1,037$. Par définition, $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 187$ et de raison $q = 1,037$.
2. Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$. On a donc $u_n = 187 \times 1,037^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
3. Comme $u_0 > 0$ et $q > 1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
4. Pour l'année 2019, $n = 19$. On calcule $u_{19} = 187 \times 1,037^{19} \approx 373$ millions de tonnes.
5. Calculons d'abord la production totale entre 2000 et 2019 : $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{19} = 187 \times \frac{1 - 1,037^{20}}{1 - 1,037} \approx 5396,25$ millions de tonnes. La part se retrouvant dans l'océan est de $20\%$. Parmi celle-ci, $30\%$ flottent (car $70\%$ coulent). Quantité de déchets flottants : $5396,25 \times 0,20 \times 0,30 \approx 323,77$. On arrondit bien à $324$ millions de tonnes.