Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction quotient mêlant la fonction exponentielle et une fonction affine. C'est un grand classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il balaye les compétences fondamentales : calcul de points d'intersection, dérivation d'un quotient, étude de signe et équation de tangente.

Points de vigilance

• La formule du quotient : Pour dériver $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, utilisez impérativement $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Signe de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
• Équation de la tangente : La formule est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Correction Détaillée

1. Intersection avec l'axe des ordonnées :
Le point $A$ a pour abscisse $x = 0$. On calcule $f(0) = \frac{e^0}{1+0} = \frac{1}{1} = 1$. Les coordonnées sont donc $A(0 ; 1)$.

2. Intersection avec l'axe des abscisses :
On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$. Puisque $e^x$ n'est jamais nul ($e^x > 0$), le numérateur ne s'annule jamais. La courbe ne coupe donc pas l'axe des abscisses.

3. Calcul de la dérivée :
Posons $u(x) = e^x$ ($u'(x) = e^x$) et $v(x) = 1+x$ ($v'(x) = 1$).
$f'(x) = \frac{e^x(1+x) - e^x(1)}{(1+x)^2} = \frac{e^x + x e^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{x e^x}{(1+x)^2}$.

4. Sens de variation :
Sur $[0 ; +\infty[$, $e^x > 0$, $x \ge 0$ et $(1+x)^2 > 0$. Ainsi, $f'(x) \ge 0$. La fonction $f$ est donc croissante sur cet intervalle.

5. Tangente en $B(1,6)$ :
La tangente passe par l'origine si l'équation $0 = f'(1,6)(0 - 1,6) + f(1,6)$ est vérifiée. On calcule :
$f(1,6) = \frac{e^{1,6}}{2,6}$ et $f'(1,6) = \frac{1,6 e^{1,6}}{2,6^2}$.
Vérifions : $-1,6 \times \frac{1,6 e^{1,6}}{2,6^2} + \frac{e^{1,6}}{2,6} = e^{1,6} \left( \frac{-2,56}{6,76} + \frac{1}{2,6} \right)$.
Or $\frac{1}{2,6} = \frac{2,6}{6,76}$. Comme $2,6 \neq 2,56$, le résultat n'est pas nul. La tangente ne passe pas par l'origine.