Introduction : Un sujet complet pour balayer le programme de Première

Le Sujet 24 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première est un excellent support de révision pour les élèves préparant le contrôle continu (E3C). Ce sujet présente un équilibre parfait entre les différents piliers du programme : la géométrie analytique, l'analyse de fonctions avec la dérivation et l'exponentielle, les probabilités conditionnelles et les suites numériques couplées à l'algorithmique Python.

Globalement, la difficulté est jugée moyenne. Cependant, elle nécessite une grande rigueur dans l'application des formules classiques et une capacité à faire le lien entre lecture graphique et calcul algébrique. En tant que professeur, je considère ce sujet comme un standard de ce qu'un élève doit maîtriser en fin de Première pour aborder sereinement la classe de Terminale.

Exercice 1 : QCM de Géométrie et Second Degré

Cet exercice de type QCM teste des réflexes fondamentaux en Géométrie repérée et sur les Polynômes du second degré.

Notions clés :

• Équation cartésienne de droite : Un vecteur normal à $ax + by + c = 0$ a pour coordonnées $(a, b)$.
• Projeté orthogonal : Le point H doit appartenir à la droite et le vecteur AH doit être colinéaire au vecteur normal.
• Équation de cercle : La forme standard est $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.
• Sommet d'une parabole : Abscisse $\alpha = -b/(2a)$.

Pièges à éviter : Pour la Question 3, attention aux signes ! L'équation utilise $(x - x_A)$, donc si $x_A = -1$, on obtient $(x + 1)^2$. Pour la Question 5, le signe de l'inéquation dépend du coefficient $a$ du trinôme. Ici $a = -3$ (négatif), la parabole est donc tournée vers le bas, l'inéquation est positive entre les racines.

Conseil méthodologique : Procédez par élimination. Par exemple, pour le projeté orthogonal, testez si les points proposés appartiennent à la droite en remplaçant $x$ et $y$ dans l'équation.

Exercice 2 : Analyse, Dérivation et Fonction Exponentielle

L'exercice 2 demande de conjuguer lecture graphique et calcul de dérivée impliquant la fonction Exponentielle.

Notions clés :

• Lecture de $f'(-1)$ : C'est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $-1$. Si la tangente est horizontale, alors $f'(-1) = 0$.
• Dérivée d'un produit : Pour $f(x) = u(x)v(x)$, on utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, $v(x) = e^x$ et sa dérivée est elle-même.

Pièges à éviter : Ne pas oublier que $e^x$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Le signe de $f'(x)$ dépendra donc uniquement du signe du polynôme du second degré $(-x^2 + 0,5x + 1,5)$.

Conseils : Soyez précis dans la rédaction de votre tableau de variations. Vérifiez que les flèches du tableau correspondent bien aux signes trouvés pour la dérivée et à l'allure de la courbe fournie dans l'énoncé.

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

Cet exercice classique porte sur les Probabilités conditionnelles à travers l'étude d'un filtre anti-spam.

Notions clés :

• Arbre pondéré : Somme des branches issues d'un même nœud égale à 1.
• Formule des probabilités totales : $p(S) = p(I \cap S) + p(\overline{I} \cap S)$.
• Inversion de conditionnement : Calcul de $p_S(I)$ via la formule $\frac{p(I \cap S)}{p(S)}$.

Pièges à éviter : Confondre $p_I(S)$ (donné dans l'énoncé : probabilité d'être bloqué sachant qu'il est indésirable) et $p(I \cap S)$ (probabilité que le mail soit indésirable ET bloqué).

Conseils : La question 5 demande d'évaluer si le logiciel se trompe dans moins de 2% des cas. L'erreur du logiciel correspond aux événements $(I \cap \overline{S})$ (indésirable non bloqué) et $(\overline{I} \cap S)$ (légitime bloqué). Calculez la somme de ces deux probabilités pour conclure.

Exercice 4 : Suites Numériques et Python

Cet exercice modélise la production et les commandes d'une entreprise via des Suites arithmétiques et géométriques.

Notions clés :

• Suite Arithmétique : $f_{n+1} = f_n + r$. La croissance est linéaire (production).
• Suite Géométrique : $c_{n+1} = c_n \times q$. Le coefficient multiplicateur pour une hausse de $3,8\%$ est $q = 1 + 3,8/100 = 1,038$.
• Somme de termes : Utilisation des formules de sommation pour calculer la production annuelle.

Algorithme Python : La boucle `while` doit s'exécuter tant que la condition pour s'arrêter n'est pas remplie. Si on cherche quand les commandes dépassent la production, on écrit `while c < f:`. À l'intérieur, on incrémente $n$ et on met à jour $f$ et $c$.

Conclusion : Ce sujet 24 est complet. Il demande une maîtrise technique des calculs (dérivées, sommes de suites) mais aussi une intelligence de lecture (interprétation de probabilités, logique algorithmique). Un entraînement indispensable pour réussir l'année de Première.