Introduction au Sujet 65 de l'Épreuve de Spécialité Mathématiques

Le sujet 65 de l'année 2020 pour la classe de Première spécialité mathématiques est un excellent support de révision. Il balaye de larges pans du programme, allant de la géométrie analytique aux probabilités conditionnelles, en passant par l'analyse de fonctions et les suites numériques avec un volet algorithmique en Python.

Globalement, ce sujet présente une difficulté équilibrée. Il demande à la fois une rigueur de rédaction pour les justifications (Exercice 1) et une capacité à modéliser des problèmes concrets (Exercices 2, 3 et 4). Pour réussir, l'élève doit maîtriser ses formules de base mais aussi savoir manipuler des expressions littérales complexes.

Exercice 1 : Géométrie, Analyse et Trigonométrie (Vrai/Faux)

Cet exercice de type Vrai/Faux avec justification nécessite une connaissance précise des propriétés fondamentales du cours.

Notions clés : Vecteurs directeurs et normaux, produit scalaire, équation de cercle, dérivation d'un quotient impliquant l'exponentielle, et lecture du cercle trigonométrique.

Pièges à éviter : Pour l'Affirmation 1, ne pas oublier que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Pour l'Affirmation 4, la dérivation de $f(x) = \frac{e^x}{x}$ nécessite d'appliquer la formule $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. L'oubli du carré au dénominateur est une erreur classique. Enfin, pour l'Affirmation 5, bien situer l'angle $2\pi/5$ dans le premier quadrant pour déterminer le signe du sinus.

Conseils méthodologiques : Rédigez systématiquement le calcul complet. Même si vous avez la bonne intuition, seule la preuve mathématique rapporte les points.

Exercice 2 : Optimisation d'un Coût Moyen de Production

L'exercice 2 se concentre sur l'étude d'une fonction rationnelle dans un contexte économique.

Notions clés : Dérivation, étude de signe, factorisation de polynômes et recherche d'extremum.

Analyse détaillée : La difficulté réside dans le calcul de $f'(x)$. Le sujet aide l'élève en fournissant la forme factorisée du numérateur : $(x-4)(x^2+x+4)$. Ici, l'élève doit reconnaître que le trinôme du second degré $x^2+x+4$ a un discriminant négatif ($\Delta = -15$), ce qui signifie qu'il est toujours du signe de $a$ (positif ici). Le signe de la dérivée ne dépend donc que de $(x-4)$.

Conseils méthodologiques : Pour justifier le minimum, ne vous contentez pas de trouver $x=4$. Construisez un tableau de variations complet avec les flèches et les valeurs aux bornes (1 et 5) pour montrer que la fonction décroît puis croît.

Exercice 3 : Évolution de Spectateurs et Algorithmique Python

Cet exercice compare deux modèles de croissance : un modèle géométrique (pourcentage) et un modèle arithmétique (diminution constante).

Notions clés : Suites géométriques, suites arithmétiques et boucle While en Python.

Analyse détaillée : La suite $(u_n)$ représente une croissance de 4 %, soit un coefficient multiplicateur de $1,04$. C'est une suite géométrique. La suite $(v_n)$ perd 10 unités par an, c'est une suite arithmétique de raison $-10$. La question Python demande de déterminer le seuil à partir duquel le nouveau complexe dépasse le cinéma du centre-ville.

Conseils méthodologiques : Assurez-vous de bien comprendre la syntaxe de la boucle while u < v. Le programme s'arrête dès que $u \geq v$. Utilisez votre calculatrice pour simuler les étapes si nécessaire (méthode de balayage).

Exercice 4 : Probabilités et Coût de Sortie

Le dernier exercice traite des probabilités dans le milieu du cinéma, incluant la loi d'une variable aléatoire.

Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales, probabilités conditionnelles (formule de Bayes) et espérance mathématique.

Analyse détaillée : Le calcul de $p(F)$ utilise la formule des probabilités totales : $p(F) = p(A \cap F) + p(D \cap F) + p(C \cap F)$. Pour la variable aléatoire $X$, il faut bien identifier les deux valeurs possibles (10 € et 18 €) et leur associer les probabilités $p(\bar{F})$ et $p(F)$.

Conseils méthodologiques : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. Vérifiez cela avant de poursuivre vos calculs.

Conclusion

Ce sujet 65 est un excellent test de fin d'année pour un élève de Première Spécialité. Il nécessite une bonne gestion du temps et une aisance dans le passage du langage courant au langage mathématique. La maîtrise de la calculatrice pour les suites et les calculs de probabilités est un atout indispensable.