Introduction au Sujet 45 d'E3C de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 45 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaie une large partie du programme officiel, allant de la géométrie repérée à l'analyse de fonctions, en passant par les probabilités et les suites numériques. Ce sujet se distingue par son équilibre entre questions de cours directes (QCM) et exercices de réflexion plus approfondis. La difficulté globale est estimée comme moyenne, ce qui en fait un outil parfait pour valider l'acquisition des mécanismes fondamentaux avant les épreuves finales ou les contrôles continus.

Exercice 1 : QCM Multidisciplinaire

Cet exercice de type questionnaire à choix multiple évalue la rapidité et la précision des élèves sur quatre piliers du programme : le produit scalaire, la géométrie du cercle, la trigonométrie et la programmation Python.

• Notions clés : Produit scalaire dans un repère, théorème d'Al-Kashi, équation cartésienne de cercle, mesure principale d'un angle et boucles for.
• Pièges à éviter : Pour la question 1, une erreur de signe est vite arrivée lors du calcul $xx' + yy'$. Pour la question 2, n'oubliez pas que le théorème d'Al-Kashi nécessite d'utiliser le cosinus de l'angle. Enfin, pour l'algorithme Python, soyez vigilants sur l'intervalle de la boucle range(1, N) : avec $N=4$, la boucle s'arrête à $i=3$.
• Conseils méthodologiques : En QCM, procédez par élimination si la réponse ne vous semble pas immédiate. Pour la question sur le cercle, testez les coordonnées du centre A(2,3) dans les équations proposées pour gagner du temps.

Exercice 2 : Probabilités et Variables Aléatoires

L'exercice porte sur une expérience classique de tirages successifs avec remise. L'objectif est de modéliser une situation de gain financier à l'aide d'une variable aléatoire $X$.

• Notions clés : Arbre pondéré, indépendance (due au tirage avec remise), loi de probabilité et espérance mathématique.
• Pièges à éviter : La confusion entre tirage avec remise et sans remise est l'erreur la plus fréquente. Ici, les probabilités restent constantes sur chaque branche. Attention également à ne pas oublier de lister toutes les issues possibles pour déterminer les valeurs prises par $X$ : {RR, RN, NR, NN}.
• Conseils méthodologiques : Représentez toujours l'arbre au brouillon, même s'il est simple. Pour l'espérance, rappelez-vous que $E(X) = \sum p_i x_i$. Interprétez toujours le résultat : si $E(X) > 0$, le jeu est favorable au joueur sur un grand nombre de parties.

Exercice 3 : Suites Arithmético-géométriques

On étudie ici une suite définie par récurrence du type $u_{n+1} = au_n + b$. La méthode classique consiste à utiliser une suite auxiliaire $v_n$ pour se ramener à une suite géométrique connue.

• Notions clés : Suite géométrique, expression fonctionnelle ($v_n$ en fonction de $n$), somme des termes d'une suite géométrique.
• Pièges à éviter : Lors de la démonstration du caractère géométrique de $v_n$, il faut impérativement partir de $v_{n+1}$ pour arriver à $q \times v_n$. Ne confondez pas le nombre de termes dans la somme : de $0$ à $100$, il y a $101$ termes.
• Conseils méthodologiques : Apprenez par cœur la formule de la somme $S = u_0 \frac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}$. Pour déduire la somme des $u_n$ à partir de celle des $v_n$, utilisez la relation $u_n = v_n + 6$. La somme des $u_n$ sera donc égale à la somme des $v_n$ plus $101 \times 6$.

Exercice 4 : Dérivation et Position Relative de Courbes

Le dernier exercice se concentre sur l'analyse de fonctions polynômes du troisième degré. Il lie le calcul de la dérivée à l'interprétation géométrique de la tangente et à l'étude de signe pour comparer deux fonctions.

• Notions clés : Fonction dérivée, équation de tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, étude du signe d'un trinôme du second degré.
• Pièges à éviter : Dans le calcul de $f(x)-g(x)$, faites attention aux changements de signes lors de la soustraction des expressions. Pour l'équation de la tangente, calculez séparément $f(-1)$ et $f'(-1)$ avant de les injecter dans la formule.
• Conseils méthodologiques : L'étude de la position relative de deux courbes revient toujours à étudier le signe de la différence. Si $f(x) - g(x) > 0$, alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$. Le recours au discriminant $\Delta$ est souvent nécessaire pour trouver les racines du trinôme résultant.

Conclusion

Ce sujet 45 est un excellent test de polyvalence. Il exige une maîtrise technique des calculs (dérivation, discriminant) mais aussi une compréhension conceptuelle (probabilités, suites). Pour réussir, un élève de Première doit s'entraîner régulièrement à rédiger ces exercices types, car ils reviennent fréquemment sous des formes similaires dans les banques de sujets.