Introduction au Sujet 31 - Spécialité Mathématiques 1ère

Le sujet 31 de l'épreuve de contrôle continu de 2020 représente une excellente synthèse du programme de Première Spécialité Mathématiques. D'une difficulté équilibrée, il balaie les piliers fondamentaux : analyse de fonctions avec l'exponentielle, suites numériques modélisant un phénomène concret, géométrie vectorielle et probabilités avec tableaux croisés. Pour un élève de première, ce sujet est un test idéal pour vérifier la maîtrise des mécanismes de calcul et la capacité à interpréter un énoncé concret.

Exercice 1 : QCM Multi-notions (5 points)

Cet exercice de type QCM ne demande aucune justification, mais nécessite une grande rigueur dans le raisonnement pour éviter les pièges classiques.

• Question 1 (Second degré) : L'analyse d'une parabole est un incontournable. Ici, la courbe est tournée vers le haut, ce qui implique que le coefficient a est positif. Les deux intersections avec l'axe des abscisses indiquent que le discriminant Δ est strictement positif.
• Question 2 (Variables aléatoires) : Le calcul de l'espérance mathématique nécessite de lister les issues (cartes de 1 à 30) et de dénombrer les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29). Il y en a 10. Le gain algébrique prend en compte la mise de 1€.
• Question 3 (Exponentielle) : Application directe des propriétés algèbriques : e^a × e^b / e^c = e^a+b-c.
• Question 4 (Suites) : Il faut utiliser la formule du terme général d'une suite arithmétique : u_n = u_p + (n-p)r. Attention ici, le premier terme est u₁ et non u₀.
• Question 5 (Produit scalaire) : Rappel de cours : si une droite a pour équation ax + by + c = 0, alors le vecteur n(a ; b) est un vecteur normal.

Exercice 2 : Étude de fonction avec Exponentielle (5 points)

Cet exercice d'analyse porte sur la fonction f(x) = (5 - 2x)e^x. C'est un grand classique de la classe de Première.

Notions clés : La dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv'. Ici, poser u(x) = 5 - 2x et v(x) = e^x est crucial. La dérivée obtenue, f'(x) = (3 - 2x)e^x, permet d'étudier le signe. Comme l'exponentielle est toujours positive, le signe de f' dépend uniquement du facteur affine (3 - 2x).

Pièges à éviter : Lors de la détermination de l'équation de la tangente au point A (d'abscisse 0), n'oubliez pas d'utiliser la formule y = f'(a)(x-a) + f(a). Une erreur fréquente est d'oublier de calculer l'ordonnée de A en faisant f(0).

Exercice 3 : Suites et Algorithmique Python (5 points)

L'exercice modélise l'élimination d'un médicament dans le sang. Une diminution de 8% se traduit par un coefficient multiplicateur de 0,92 (1 - 8/100).

Analyse : La suite (U_n) est donc géométrique de raison q = 0,92. L'interprétation de U₁ est le volume de médicament restant après une heure. La partie Python demande de compléter une boucle While. C'est une structure "seuil" classique. La condition `u > S` permet de continuer tant que le médicament est actif. La ligne à compléter est `u = u * 0.92`.

Conseil méthodologique : Pour la question 3.b, l'utilisation de la calculatrice pour générer les termes de la suite est le moyen le plus rapide de trouver l'heure où le volume passe sous la barre des 1,5 cm³.

Exercice 4 : Probabilités et Tableau Croisé (5 points)

On traite ici d'une culture de pois avec deux caractères : couleur et forme. La première étape consiste à compléter le tableau d'effectifs (10 000 pois au total).

Notions clés :

• Probabilité d'une intersection (P ∩ L) : On regarde la case correspondante divisée par le total.
• Probabilités conditionnelles : P_R(J) = P(R ∩ J) / P(R). On réduit l'univers aux 600 pois ridés.

Interprétation : La question 5 demande de calculer P_J(R). Il s'agit de la probabilité qu'un pois soit ridé *sachant* qu'il est jaune. Il faut bien distinguer le "sachant que" de l'intersection classique.

Conclusion

Ce sujet 31 est très complet. Il valorise les élèves capables de faire le lien entre les expressions littérales (équations), les représentations graphiques et les scripts informatiques. La maîtrise de la fonction exponentielle et des suites géométriques est ici la clé pour obtenir une excellente note.