Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la spécialité de Première est structuré en deux parties interdépendantes qui mobilisent des compétences transversales du programme : l'étude des polynômes du second degré, la modélisation de suites numériques et l'analyse de fonctions par la dérivation. La première partie se concentre sur une parabole $P$ et le calcul d'un taux d'accroissement, tandis que la seconde utilise ces résultats pour étudier une fonction rationnelle.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser :

• Le calcul du discriminant $\Delta$ et la détermination du signe d'un trinôme.
• La définition du coefficient directeur d'une droite passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• La reconnaissance d'une suite arithmétique de forme $u_n = an + b$.
• Les formules de dérivation usuelles, notamment $(x)' = 1$ et $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
• Le lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction.

Guide de résolution et Correction

Partie 1 : Étude de $g(x) = x^2 - 5x + 4$

1.a. Pour le signe, on calcule $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$. Les racines sont $x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$. Le coefficient devant $x^2$ étant positif, $g(x) \leq 0$ sur $[1; 4]$ et $g(x) > 0$ sur $]-\infty; 1[ \cup ]4; +\infty[$.

1.b. Le point $A_n$ a pour coordonnées $(n, g(n))$. Le coefficient directeur $a_n$ de la droite $(A_nA_{n+1})$ est :
$a_n = \frac{g(n+1) - g(n)}{(n+1) - n} = g(n+1) - g(n)$.
En développant, $g(n+1) = (n+1)^2 - 5(n+1) + 4 = n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 + 4 = n^2 - 3n$.
Ainsi, $a_n = (n^2 - 3n) - (n^2 - 5n + 4) = 2n - 4$.

1.c. On reconnaît une suite arithmétique de raison $r = 2$ et de premier terme $a_0 = -4$.

Partie 2 : Analyse de la fonction $f$

2.a. En mettant au même dénominateur : $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x} = \frac{g(x)}{x}$.
2.b. Sur $[0,5; 8]$, $x$ est positif. Donc $f(x)$ est du signe de $g(x)$. La courbe $C$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $[0,5; 1]$ et $[4; 8]$, et en dessous sur $[1; 4]$.
2.c. $f'(x) = 1 - 0 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}$.
2.d. Sur l'intervalle, $(x+2)$ et $x^2$ sont positifs. La dérivée est du signe de $(x-2)$. $f$ est décroissante sur $[0,5; 2]$ et croissante sur $[2; 8]$. Le minimum est atteint en $x=2$ avec $f(2) = 2 - 5 + 2 = -1$.