Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques, extrait du sujet de 2020, propose une application concrète de la géométrie analytique et du produit scalaire dans le plan. On y étudie la structure d'un centre commercial circulaire à Cholet. L'objectif est de manipuler les équations de cercle, de vérifier l'alignement de points et d'utiliser les propriétés du produit scalaire pour résoudre un problème d'optimisation de distance (recherche du point le plus proche).

Points de vigilance et notions requises

• Équation de cercle : Savoir qu'un cercle de centre $\Omega(x_0; y_0)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Ici, le centre est l'origine $O(0;0)$.
• Vecteurs et Alignement : Pour prouver qu'un point $O$ appartient à une droite $(AD)$, on peut vérifier la colinéarité des vecteurs $\vec{AO}$ et $\vec{AD}$, ou vérifier que les coordonnées de $O$ satisfont l'équation de la droite.
• Produit scalaire : Utilisation de la formule analytique dans un repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Distance minimale : Comprendre que le point d'une droite le plus proche d'un point extérieur est le projeté orthogonal. Cela implique que le vecteur reliant ces deux points doit être orthogonal au vecteur directeur de la droite.

Guide de résolution détaillé

1. Équation du cercle et appartenance de O à (AD) :
Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $O(0;0)$ et pour rayon $R=110$. Son équation est donc $x^2 + y^2 = 110^2$, soit $x^2 + y^2 = 12100$.
Pour la droite $(AD)$, calculons les coordonnées des vecteurs : $\vec{AD}(80 - (-30); -40 - 15)$ donc $\vec{AD}(110; -55)$. De même, $\vec{AO}(0 - (-30); 0 - 15)$ donc $\vec{AO}(30; -15)$. On remarque que $110 \times (-15) = -1650$ et $30 \times (-55) = -1650$. Les vecteurs sont colinéaires, donc $O$ appartient à la droite $(AD)$.

2. Produit scalaire et point le plus proche :
Le vecteur $\vec{AG}$ a pour coordonnées $(-10 - (-30); -10 - 15) = (20; -25)$. Le produit scalaire $\vec{AG} \cdot \vec{AO} = 20 \times 30 + (-25) \times (-15) = 600 + 375 = 975$.
Pour savoir si $O$ est le point de $(AD)$ le plus proche de $G$, il faut vérifier si $(GO) \perp (AD)$. Calculons $\vec{GO} \cdot \vec{AD}$. On a $\vec{GO}(10; 10)$ et $\vec{AD}(110; -55)$.
$\vec{GO} \cdot \vec{AD} = 10 \times 110 + 10 \times (-55) = 1100 - 550 = 550$.
Le produit scalaire n'étant pas nul, les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Par conséquent, $O$ n'est pas le point le plus proche de $G$ sur la droite $(AD)$.