Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie analytique est un classique du programme de Première Spécialité. Il mobilise les compétences relatives aux équations cartésiennes de droites et à l'orthogonalité dans le plan, souvent introduite par le biais du produit scalaire. L'objectif est de naviguer entre les propriétés algébriques d'une droite et sa représentation géométrique (distance, projeté).

Points de vigilance et notions de cours

• Vecteur normal : Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$.
• Perpendicularité : Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ou si le vecteur normal de l'une est le vecteur directeur de l'autre.
• Projeté orthogonal : Le point H est l'unique point d'intersection entre la droite $(d)$ et la droite $(\Delta)$ passant par A et perpendiculaire à $(d)$.

Correction détaillée

1. Coordonnées de B : On sait que $x_B = 7$ et $B \in (d)$. En remplaçant dans l'équation $x - 3y - 4 = 0$, on obtient $7 - 3y - 4 = 0$, soit $3 - 3y = 0$. D'où $y = 1$. Le point B a pour coordonnées $(7; 1)$.

2. Vecteur normal : L'équation est de la forme $1x - 3y - 4 = 0$. Par lecture directe des coefficients, un vecteur normal à $(d)$ est $\vec{n}(1; -3)$.

3. Équation de $(\Delta)$ : $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(d)$, donc le vecteur $\vec{n}(1; -3)$ est un vecteur directeur de $(\Delta)$. Un vecteur normal à $(\Delta)$ est donc $\vec{n'}(3; 1)$ (car $3\times 1 + 1\times(-3) = 0$). L'équation de $(\Delta)$ est de la forme $3x + y + c = 0$. Comme $A(3; 1) \in (\Delta)$, on a $3(3) + 1 + c = 0 \Rightarrow 10 + c = 0 \Rightarrow c = -10$. L'équation est $3x + y - 10 = 0$.

4. Projeté orthogonal H : On résout le système :
$\begin{cases} x - 3y = 4 \\ 3x + y = 10 \end{cases}$. En multipliant la seconde ligne par 3 et par addition : $10x = 34 \Rightarrow x = 3,4$. On en déduit $y = 10 - 3(3,4) = -0,2$. Donc $H(3,4; -0,2)$.

5. Distance AH : $AH = \sqrt{(3,4-3)^2 + (-0,2-1)^2} = \sqrt{0,4^2 + (-1,2)^2} = \sqrt{0,16 + 1,44} = \sqrt{1,6} \approx 1,26$. Interprétation : Cette valeur correspond à la distance la plus courte entre le point A et n'importe quel point de la droite $(d)$.