Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie plane combine l'utilisation des coordonnées et les propriétés fondamentales du produit scalaire. L'énoncé propose une configuration géométrique composée de deux carrés et d'un rectangle, ce qui facilite l'introduction d'un repère orthonormé pour simplifier les calculs vectoriels. L'enjeu est de démontrer une orthogonalité et d'exploiter la relation entre produit scalaire et projection orthogonale pour déterminer une longueur.

Points de vigilance et notions de cours

• Choix du repère : L'énoncé suggère le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ où $\vec{i} = \frac{1}{3}\vec{OA}$ et $\vec{j} = \frac{1}{3}\vec{OC}$. Dans ce repère, $O(0,0)$, $A(3,0)$ et $C(0,3)$.
• Orthogonalité : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
• Projection orthogonale : Pour trois points $C, D, M$, si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(CD)$, alors $\vec{CD} \cdot \vec{CM} = \vec{CD} \cdot \vec{CH}$.

Correction détaillée

1. Orthogonalité de (OM) et (DC)

Déterminons les coordonnées des points dans le repère $(O, \frac{1}{3}\vec{OA}, \frac{1}{3}\vec{OC})$ :
On a $O(0,0)$, $A(3,0)$, $C(0,3)$.
Comme $ODEF$ est un carré de côté 2 situé « à gauche » et « en bas », on a $D(-2,0)$ et $F(0,-2)$.
Puisque $OAMF$ est un rectangle, $M$ a pour abscisse celle de $A$ et pour ordonnée celle de $F$, soit $M(3,-2)$.

Calculons les vecteurs :
$\vec{OM} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{DC} \begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Calcul du produit scalaire :
$\vec{OM} \cdot \vec{DC} = 3 \times 2 + (-2) \times 3 = 6 - 6 = 0$.
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux : la droite $(OM)$ est perpendiculaire à $(DC)$.

2. Calcul de $\vec{CD} \cdot \vec{CM}$

Utilisons les coordonnées des points $C(0,3)$, $D(-2,0)$ et $M(3,-2)$ :
$\vec{CD} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{CM} \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ -2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$.

$\vec{CD} \cdot \vec{CM} = (-2) \times 3 + (-3) \times (-5) = -6 + 15 = 9$.

3. Détermination de la longueur CH

Par définition du projeté orthogonal $H$, on a $\vec{CD} \cdot \vec{CM} = \vec{CD} \cdot \vec{CH}$.
Puisque $H$ appartient à la droite $(CD)$, les vecteurs $\vec{CD}$ et $\vec{CH}$ sont colinéaires. Comme le produit scalaire est positif (9), ils sont de même sens.
On a donc : $|\vec{CD} \cdot \vec{CM}| = CD \times CH$.
Calculons $CD$ : $CD = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
Ainsi, $9 = \sqrt{13} \times CH$, d'où $CH = \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{9\sqrt{13}}{13}$.