Analyse de l'énoncé

Cet exercice est une application classique de l'étude de fonction en classe de Première Spécialité. Il combine l'usage de la fonction exponentielle et les techniques de dérivation pour modéliser une situation réelle : l'évolution de la concentration d'un produit dopant dans le sang. L'énoncé fournit directement la dérivée, ce qui permet de se concentrer sur l'étude de signe et l'interprétation des variations.

Points de vigilance et notions requises

• Signe de l'exponentielle : Il est crucial de se rappeler que pour tout réel $u$, $e^u > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de $f'(x)$.
• Lien Dérivée/Variations : Une dérivée positive implique une fonction croissante, une dérivée négative implique une fonction décroissante.
• Lecture de l'énoncé : Dans la partie modélisation, $x$ représente le temps et $f(x)$ la concentration. Il faut savoir interpréter le maximum de la fonction comme le pic de concentration.

Correction détaillée

1. Signe de $f'(x)$ : On a $f'(x) = (-1,2x + 3)e^{-0,4x}$. Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, le signe de $f'(x)$ est celui de l'expression affine $-1,2x + 3$.
$-1,2x + 3 > 0 \iff -1,2x > -3 \iff x < rac{-3}{-1,2} \iff x < 2,5$.
Ainsi, $f'(x)$ est positive sur $[0~;~2,5[$, s'annule en $2,5$ et est négative sur $]2,5~;~+\infty[$.

2. Tableau de variation : La fonction $f$ est croissante sur $[0~;~2,5]$ et décroissante sur $[2,5~;~+\infty[$. La valeur maximale est $f(2,5) = 3 imes 2,5 imes e^{-0,4 imes 2,5} = 7,5e^{-1} \approx 2,76$ mg/L.

3. Application concrète :
a) À $x=0$ (moment de la prise), $f(0) = 3 imes 0 imes e^0 = 0$. La quantité initiale est nulle, donc le produit n'est pas naturel.
b) Le maximum est atteint pour $x=2,5$, soit 2 heures et 30 minutes après l'absorption.
c) Après 6 heures, on calcule $f(6) = 3 imes 6 imes e^{-0,4 imes 6} = 18e^{-2,4} \approx 1,63$ mg/L. Comme $1,63 > 1,4$, le contrôle sera positif.