Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur deux piliers du programme : les suites numériques et l'algorithmique en Python. L'énoncé met en opposition deux types de suites : une suite $u_n$ définie de manière explicite (fonction du rang $n$) et une suite $v_n$ définie par récurrence (de type arithmético-géométrique). L'objectif est de comparer leur comportement, d'étudier leur monotonie grâce à la dérivation et d'interpréter un programme informatique simulant leur évolution.

Points de vigilance et notions requises

• Définitions des suites : Ne pas confondre le calcul direct pour $u_n$ et le calcul pas à pas pour $v_n$.
• Lien suite-fonction : Pour étudier la monotonie d'une suite explicite $u_n = f(n)$, on étudie le signe de la dérivée $f'(x)$ sur $[0 ; +\infty[$.
• Logique algorithmique : Dans une boucle while u < v, la sortie de boucle se produit dès que la condition devient fausse, c'est-à-dire dès que $u \ge v$.
• Rigueur de calcul : Attention aux priorités opératoires lors du calcul des premiers termes, notamment pour $v_n$.

Correction détaillée

1. Calcul des termes d'indice 3 :

• Pour $(u_n)$ : $u_3 = \dfrac{8(3) - 4}{3 + 1} = \dfrac{24 - 4}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$.
• Pour $(v_n)$ :
  • $v_1 = 0,5 \times v_0 + 3,5 = 0,5 \times 0 + 3,5 = 3,5$.
  • $v_2 = 0,5 \times v_1 + 3,5 = 0,5 \times 3,5 + 3,5 = 1,75 + 3,5 = 5,25$.
  • $v_3 = 0,5 \times v_2 + 3,5 = 0,5 \times 5,25 + 3,5 = 2,625 + 3,5 = 6,125$.

2. Variations de la suite $(u_n)$ :

a) La fonction $f$ est de la forme $u/v$. On calcule sa dérivée : $f'(x) = \dfrac{8(x+1) - 1(8x-4)}{(x+1)^2} = \dfrac{8x + 8 - 8x + 4}{(x+1)^2} = \dfrac{12}{(x+1)^2}$.
Comme $(x+1)^2 > 0$ et $12 > 0$, alors $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

b) Puisque $u_n = f(n)$, la croissance de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ implique que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Algorithme et interprétation :

L'algorithme utilise une boucle while u < v. Le programme s'arrête et renvoie la valeur de $n$ dès que la condition n'est plus vérifiée. Si le programme renvoie 11, cela signifie que pour $n=11$, on a $u_{11} \ge v_{11}$.
L'affirmation de Camille était que $u_n < v_n$ pour tout entier $n$. Le programme prouve qu'il existe au moins un contre-exemple ($n=11$).
C'est donc Dominique qui a raison : l'affirmation est fausse car elle ne se vérifie pas pour tous les entiers naturels.