Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu d'un sujet de Première Spécialité de 2020. Il balaye cinq thématiques majeures du programme, exigeant une maîtrise des formules fondamentales et une rapidité d'exécution. L'absence de points négatifs incite à répondre à toutes les questions, mais la précision reste de mise pour assurer le maximum de points.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir interpréter le signe du discriminant $\Delta$ et le signe de $a$ pour déterminer l'ensemble des solutions d'une inéquation.
• Produit scalaire : Utiliser l'identité remarquable vectorielle $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$.
• Probabilités : Connaître la définition de la probabilité conditionnelle $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
• Suites arithmétiques : Appliquer la formule de la somme des termes $S = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
• Dérivation : Maîtriser la dérivée d'une fonction composée de la forme $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$.

Correction détaillée

Question 1 : Calculons le discriminant de $x^2 + x + 2$. $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$. Le discriminant est négatif, donc le trinôme est du signe de $a$ (ici $a=1 > 0$) pour tout réel $x$. L'inéquation est donc vérifiée sur $\mathbb{R}$. Réponse d.

Question 2 : Appliquons la formule : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 3^2 + 2^2 + 2(-1) = 9 + 4 - 2 = 11$. Réponse a.

Question 3 : Par définition, $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0,5 \times 0,2 = 0,1$. Réponse b.

Question 4 : De $u_0$ à $u_{12}$, il y a $12 - 0 + 1 = 13$ termes. Le dernier terme est $u_{12} = u_0 + 12r = 2 + 12 \times 3 = 38$. La somme est $S = 13 \times \frac{2 + 38}{2} = 13 \times 20 = 260$. Réponse c.

Question 5 : La fonction est de la forme $u^n$ avec $u(x) = 2x-5$ et $n=3$. La dérivée est $f'(x) = n \cdot u' \cdot u^{n-1} = 3 \times 2 \times (2x-5)^{3-1} = 6(2x-5)^2$. Réponse b.