Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM balaie une large partie du programme de géométrie analytique et d'étude des fonctions du second degré de la classe de Première Spécialité. Il nécessite une maîtrise rapide des formules fondamentales pour identifier les réponses correctes sans perdre de temps en calculs superflus.

Points de vigilance et notions requises

• Vecteur normal : Pour une droite d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$, le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est normal à la droite.
• Cercle : L'équation d'un cercle de centre $A(x_A; y_A)$ et de rayon $R$ est $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.
• Second degré : Le sommet d'une parabole $y = ax^2 + bx + c$ a pour abscisse $\alpha = -b/(2a)$. Le signe d'un trinôme dépend du signe de $a$ à l'extérieur des racines.

Correction détaillée

Question 1 : L'équation est $4x + 5y - 32 = 0$. Les coefficients devant $x$ et $y$ donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}(4; 5)$. La réponse exacte est c.

Question 2 : On peut tester les points. Le point $H(3; 4)$ vérifie $4(3) + 5(4) - 32 = 12 + 20 - 32 = 0$. De plus, le vecteur $\vec{AH}(3-7; 4-9) = (-4; -5)$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(4; 5)$. C'est donc le projeté orthogonal. La réponse exacte est b.

Question 3 : Avec $A(-1; 3)$ et $R=2$, l'équation est $(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$, soit $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$. La réponse exacte est c.

Question 4 : Pour $3x^2 - 9x + 5$, $\alpha = -(-9) / (2 \times 3) = 9/6 = 3/2$. L'axe de symétrie est $x = 3/2$. En calculant l'image de $3/2$, on trouve $-7/4$. La réponse exacte est a.

Question 5 : Le coefficient $a = -3$ est négatif. Le discriminant $\Delta = 9^2 - 4(-3)(-5) = 81 - 60 = 21 > 0$. La parabole est tournée vers le bas, donc le trinôme est positif entre les racines. La réponse exacte est d.