Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves communes de 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un spectre large du programme : l'étude algébrique des polynômes et de la fonction exponentielle, ainsi que la géométrie analytique (équations de cercle, vecteurs et droites). L'absence de points de pénalité pour les mauvaises réponses incite à tenter toutes les questions, mais une rigueur méthodologique reste indispensable pour sécuriser les points.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ pour déterminer le nombre de racines d'un trinôme.
• Fonction Exponentielle : Se rappeler que pour tout réel $x$, $e^x > 0$, ce qui implique que $e^x + 1$ ne s'annule jamais.
• Géométrie du cercle : Connaître l'équation cartésienne $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2$. L'erreur classique est d'oublier de mettre le rayon au carré.
• Produit scalaire : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ($xx' + yy' = 0$).
• Équation de droite : Un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ donne les coefficients de l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$.

Correction détaillée

Question 1 : L'équation $P(x) = (x^2+x+1)(x-1) = 0$ est une équation produit nul. Soit $x-1=0 \implies x=1$, soit $x^2+x+1=0$. Pour le trinôme, $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3$. Comme $\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle. Il n'y a donc qu'une seule solution : $x=1$. Réponse b.

Question 2 : $f(x) = (7x - 23)(e^x+1)$. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, $e^x+1 \geq 1$, donc ce facteur ne s'annule jamais. L'équation revient à $7x - 23 = 0$, soit $x = \frac{23}{7}$. Réponse c.

Question 3 : Le cercle de centre $A(-4; 2)$ et de rayon $r = \sqrt{2}$ a pour équation $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2$, ce qui donne $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 2$. Réponse c.

Question 4 : $\vec{u} \cdot \vec{v} = (m+1)m + (-1)(2) = m^2 + m - 2$. On cherche $m$ tel que $m^2 + m - 2 = 0$. En testant les valeurs proposées ou en calculant les racines (racine évidente $1$, donc l'autre est $-2$), on trouve $m = -2$. Réponse b.

Question 5 : La droite $D$ a pour vecteur normal $\vec{n}(-1; 3)$, son équation est de la forme $-x + 3y + c = 0$. En passant par $A(-2; 5)$, on a : $-(-2) + 3(5) + c = 0 \implies 2 + 15 + c = 0 \implies c = -17$. L'équation est $-x + 3y - 17 = 0$, ce qui équivaut à $x - 3y + 17 = 0$. Réponse b.