Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'étude d'une fonction produit mêlant un polynôme du premier degré et la fonction exponentielle. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à appliquer la règle de dérivation d'un produit, à étudier le signe d'une expression composée et à interpréter géométriquement les résultats (tangente et intersection).

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation d'un produit : La formule $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable ici. Une erreur fréquente consiste à dériver chaque facteur séparément sans utiliser la formule du produit.
• Propriétés de l'exponentielle : Il faut se rappeler que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
La fonction $f$ est de la forme $u imes v$ avec $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^x$. Les dérivées respectives sont $u'(x) = 2$ et $v'(x) = e^x$.
En appliquant $(uv)' = u'v + uv'$, on obtient :
$f'(x) = 2 imes e^x + (2x - 1) imes e^x$.
En factorisant par $e^x$, on a $f'(x) = e^x(2 + 2x - 1) = (2x + 1)e^x$. Le résultat est bien démontré.

2. Étude du signe de $f'(x)$ :
Comme $e^x > 0$ pour tout réel $x$, le signe de $f'(x)$ dépend uniquement du signe de $2x + 1$.
$2x + 1 > 0 \iff 2x > -1 \iff x > -0,5$.
$2x + 1 = 0 \iff x = -0,5$.
Ainsi, $f'(x)$ est négative sur $]-\infty ; -0,5[$ et positive sur $]-0,5 ; +\infty[$.

3. Tableau de variations :
La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty ; -0,5]$ et croissante sur $[-0,5 ; +\infty[$. Le minimum est atteint en $x = -0,5$, avec $f(-0,5) = (2(-0,5) - 1)e^{-0,5} = -2e^{-0,5} \approx -1,21$.

4. Intersection avec l'axe des ordonnées :
L'axe des ordonnées correspond à la droite d'équation $x = 0$. On calcule $f(0) = (2 imes 0 - 1)e^0 = -1 imes 1 = -1$. Les coordonnées du point d'intersection sont donc $(0 ; -1)$.

5. Équation de la tangente $T$ en $0$ :
On utilise la formule $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.
On a déjà $f(0) = -1$.
Calculons $f'(0) = (2 imes 0 + 1)e^0 = 1 imes 1 = 1$.
L'équation devient : $y = 1(x - 0) - 1$, soit $y = x - 1$.