Analyse Globale du Sujet 60 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 60 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première est un excellent test de synthèse. Il balaie une large partie du programme, allant de l'analyse de fonctions exponentielles à la géométrie analytique, en passant par les suites numériques et les probabilités. Ce sujet est particulièrement équilibré, offrant à la fois des questions de cours directes dans le QCM et des problèmes de modélisation plus concrets dans les exercices suivants.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice de 5 points teste la rapidité et la précision des connaissances fondamentales.

• Question 1 (Exponentielle) : On demande d'identifier le paramètre $\lambda$ dans $e^{\lambda x}$. Il faut se rappeler que si $\lambda < 0$, la fonction est décroissante, et plus sa valeur absolue est grande, plus la décroissance est rapide. Inversement pour $\lambda > 0$.
• Question 2 (Probabilités) : Un classique sur les variables aléatoires. Pour deux enfants, l'univers est {FF, FG, GF, GG}. La probabilité d'avoir au moins une fille ($X \geq 1$) est le complémentaire de n'avoir que des garçons.
• Question 3 (Trigonométrie) : La notion de période pour la fonction sinus est visuelle ici. La période $2\pi$ correspond à la distance entre deux points dans la même configuration de phase (par exemple $A_0$ et $A_2$).
• Question 4 (Second degré) : Résolution d'une équation de type $ax^2 + bx + c = 0$. Le calcul du discriminant $\Delta$ est la méthode standard. Attention aux erreurs de signes lors du calcul de $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Question 5 (Produit scalaire / Al-Kashi) : Dans un triangle quelconque, pour trouver une longueur connaissant un angle et deux côtés, le théorème d'Al-Kashi ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$) est l'outil indispensable.

Exercice 2 : Analyse et Dérivation - Modélisation Médicale

Cet exercice porte sur l'étude de deux modes d'administration d'un médicament. C'est un exercice classique de dérivation et d'étude de la fonction exponentielle.

• Analyse de $f_1$ : La fonction $e^{-0,57t}$ est une fonction composée. Sa dérivée est de la forme $u'e^u$. Comme $-0,57 < 0$, la fonction est strictement décroissante, ce qui est logique pour une élimination sanguine.
• Analyse de $f_2$ : Ici, on utilise la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$. La fonction $f_2(t) = 1,75t e^{-t}$ présente un maximum. La dérivation montre que $f'_2(t)$ s'annule pour $t=1$. C'est un point critique où l'on doit interpréter le pic de concentration plasmatique.
• Conseil : Ne pas oublier de justifier le signe de la dérivée par le fait que l'exponentielle est toujours positive.

Exercice 3 : Suites Géométriques et Croissance

Le sujet aborde ici les suites numériques à travers la création d'entreprises. La relation $u_{n+1} = u_n \times 1,015$ définit clairement une suite géométrique de raison $q = 1,015$.

• Formule explicite : Il faut savoir passer de la relation de récurrence à la forme $u_n = u_0 \times q^n$.
• Somme des termes : La question sur le total de l'année 2018 nécessite le calcul de la somme des 12 premiers termes : $S = u_0 \frac{1-q^{12}}{1-q}$. C'est un piège classique : bien identifier si l'on demande la valeur au 12ème mois ou le cumul annuel.

Exercice 4 : Géométrie Repérée et Cercle

La géométrie repérée clôture ce sujet. On y travaille sur les propriétés du cercle et les hauteurs d'un triangle.

• Équation de cercle : La forme $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = R^2$ est à maîtriser. Le calcul du rayon $R$ se fait par la distance entre le centre $I$ et l'un des points donnés (comme $A'$).
• Vérification d'appartenance : Pour montrer qu'un point appartient au cercle, on remplace ses coordonnées dans l'équation et on vérifie l'égalité.
• Orthogonalité : Pour le pied de la hauteur $H_A$, on peut utiliser le produit scalaire $\vec{AH_A} \cdot \vec{BC} = 0$ ou vérifier les conditions d'alignement et de perpendicularité.

Conclusion

Ce sujet 60 est complet et représentatif des attendus de fin de Première. La principale difficulté réside dans la gestion du temps sur le QCM et la précision algébrique dans l'exercice de géométrie. Une bonne maîtrise des formules de dérivation et des sommes de suites géométriques garantit une excellente note.