Introduction au Sujet 18 de l'Épreuve de Spécialité Mathématiques

Le sujet 18 des épreuves de contrôle continu (E3C) de 2020 représente un excellent test de synthèse pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Ce sujet balaie un spectre large du programme, allant de l'analyse de fonctions complexes aux probabilités conditionnelles, sans oublier les suites numériques. Sa difficulté est équilibrée, mêlant des questions de cours directes dans le QCM et des problèmes de modélisation plus profonds dans les exercices suivants.

Exercice 1 : Maîtrise des fondamentaux (QCM)

Cet exercice de type QCM teste la rapidité et la précision sur des notions de base :

• Probabilités : L'indépendance de deux évènements implique que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Le calcul de l'union nécessite d'appliquer la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Suites géométriques : La question 2 demande la somme des termes d'une suite géométrique ($1 + q + q^2 + \dots + q^n$). Le piège classique est d'oublier que de $1,2^0$ à $1,2^{10}$, il y a 11 termes.
• Analyse et Exponentielle : Les propriétés de la fonction exponentielle ($e^{-x} = 1/e^x$) et la dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ sont ici centrales. Pour la dérivée de $g(x) = (2x-5)e^x$, l'élève doit identifier $u(x)=2x-5$ et $v(x)=e^x$.

Conseil : Ne pas se précipiter. En QCM, une erreur de signe sur une dérivée est souvent proposée parmi les réponses fausses (distracteurs).

Exercice 2 : Modélisation par les suites (Placement financier)

L'exercice porte sur une suite arithmético-géométrique modélisant un compte épargne. La relation de récurrence $u_{n+1} = 1,05 u_n - 12$ combine un taux d'intérêt (coefficient multiplicateur de 1,05) et des frais fixes.

Analyse technique :

• Tableur : La formule en B3 est de type =1,05*B2-12.
• Suite auxiliaire : L'introduction de $v_n = u_n - 240$ est la méthode standard pour ramener le problème à une suite géométrique. La démonstration repose sur le calcul de $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
• Interprétation : On demande de trouver quand le placement rapporte 20%, soit quand $u_n \ge 1200$. La lecture du tableau donne l'année 5.

Exercice 3 : Probabilités et Variables Aléatoires

Ce problème de reconditionnement de smartphones est un cas d'école sur les probabilités conditionnelles.

• Arbre pondéré : C'est l'outil indispensable ici. Il permet de visualiser les branches (Écran cassé ou non, Batterie défectueuse ou non).
• Probabilités totales : Pour trouver $P(B)$, on additionne les chemins menant à $B$ : $P(E \cap B) + P(\bar{E} \cap B)$.
• Loi de probabilité : La variable $X$ représente le coût. Il faut identifier les 4 scénarios possibles (Rien, Écran seul, Batterie seule, les deux) et leurs coûts respectifs (20€ de base + suppléments).
• Espérance : $E(X)$ représente le coût moyen par smartphone. Pour 500 appareils, le budget total prévu est $500 \times E(X)$.

Exercice 4 : Analyse de fonctions et tangentes

Cet exercice final lie l'étude d'une fonction cubique $f(x)$ et d'une fonction du second degré $g(x)$.

• Étude de $f$ : La dérivée $f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$ est un trinôme du second degré. Ses racines ($1$ et $-3$) déterminent les variations de $f$.
• Tangente : L'équation de la tangente au point $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici, pour $a = -1$, l'élève doit calculer $f'(-1)$ et $f(-1)$.
• Comparaison de courbes : On demande de vérifier qu'au point d'abscisse -1, les fonctions ont la même valeur ($f(-1) = g(-1)$) et la même dérivée ($f'(-1) = g'(-1)$), ce qui prouve qu'elles partagent la même tangente.

Conclusion

Le sujet 18 est complet et exige une bonne maîtrise technique. Il met l'accent sur la capacité à passer d'un registre à l'autre : calculatoire (exponentielle), algorithmique/tableur (suites) et graphique (analyse). Travailler ce sujet permet de solidifier les bases nécessaires pour la classe de Terminale, notamment sur l'outil dérivée et les probabilités discrètes.