Le sujet 40 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaye un spectre très large du programme, allant de la géométrie analytique aux probabilités conditionnelles, en passant par les suites numériques et l'étude de fonctions polynomiales. Globalement, ce sujet est d'un niveau équilibré, demandant à la fois de la rigueur dans le calcul technique et une capacité de modélisation concrète.
Exercice 1 : QCM Multi-notions
Cet exercice de type QCM teste la rapidité et la précision sur des points fondamentaux du programme.
Notions clés : Trigonométrie (réduction d'angles), Produit scalaire, Dérivation de fonctions rationnelles, Équation de cercle et Somme de termes d'une suite géométrique.
Pièges à éviter : Pour la question 1, il faut se souvenir que $7\pi$ est congru à $\pi$ modulo $2\pi$. Ainsi $\sin(7\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x)$. Pour l'équation de cercle (Question 4), la difficulté réside dans le passage de la forme développée à la forme canonique. Il faut vérifier si le rayon est strictement positif. Enfin, pour la somme des puissances de 5, n'oubliez pas que la somme de $5^0$ à $5^{30}$ comporte 31 termes, d'où l'exposant 31 dans la formule.
Conseils méthodologiques : Travaillez par élimination. Si vous avez un doute sur la dérivée de la question 3, testez une valeur simple de $x$ dans l'expression originale et comparez la tendance avec les options proposées.
Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles
Cet exercice classique porte sur une enquête lycéenne concernant le rythme scolaire.
Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inverse, et indépendance.
Pièges à éviter : Une erreur fréquente consiste à confondre $P(L \cap C)$ (l'intersection) et $P_L(C)$ (la conditionnelle). L'énoncé donne souvent les probabilités conditionnelles directement ("parmi ceux qui..."). Lors du calcul de $P(C)$, assurez-vous de bien sommer tous les chemins menant à l'événement $C$ (loi des probabilités totales).
Conseils méthodologiques : Soignez la rédaction de la question sur l'indépendance. Il ne suffit pas de donner une impression, il faut comparer numériquement $P(L \cap C)$ avec $P(L) \times P(C)$. Si les valeurs diffèrent, même de peu, les événements ne sont pas indépendants.
Exercice 3 : Suites et Modélisation (Python)
On étudie ici l'évolution du prix de l'immobilier, un cas typique de suite géométrique.
Notions clés : Suite géométrique, taux d'évolution, terme général, et algorithmique Python.
Pièges à éviter : Le coefficient multiplicateur pour une hausse de 3% est $1 + 0,03 = 1,03$. Attention à l'indice $n$ : si 2019 correspond à $n=0$, alors 2024 correspond à $n=5$. Ne vous trompez pas de puissance lors du calcul du prix total de l'appartement.
Conseils méthodologiques : En Python, la boucle while s'arrête dès que la condition devient fausse. Pour que la fonction renvoie le nombre d'années nécessaire pour dépasser 8000, la condition de boucle doit être u <= 8000. La ligne 5 doit mettre à jour la valeur de $u$ : u = u * 1.03.
Exercice 4 : Optimisation et Dérivation
L'exercice final lie l'analyse de fonctions à un problème de géométrie (volume d'une boîte).
Notions clés : Dérivée d'un polynôme de degré 3, signe de la dérivée, tableau de variations, et extremum.
Pièges à éviter : Lors de l'étude du signe de $f'(x) = 12(x^2 - 8x + 12)$, n'oubliez pas de calculer le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines (2 et 6). Bien que la fonction soit définie sur $\mathbb{R}$, le problème géométrique restreint $x$ à l'intervalle $]0, 6[$.
Conseils méthodologiques : Pour la question 2.b, visualisez bien que si l'on coupe des carrés de côté $x$ aux coins d'une plaque de 12 cm, la base de la boîte sera un carré de côté $(12 - 2x)$. Le volume est donc $V(x) = x(12 - 2x)^2$. En développant cette expression, vous devez retomber exactement sur $f(x)$. Le maximum est atteint là où la dérivée s'annule en changeant de signe (ici $x = 2$).
Conclusion
Ce sujet 40 est très complet. Il exige une maîtrise des formules de base mais surtout une bonne lecture des énoncés pour traduire des situations concrètes en modèles mathématiques (suites ou fonctions). La réussite de cet examen passe par une gestion rigoureuse du temps, particulièrement sur la partie QCM qui peut être chronophage si l'on n'est pas entraîné.