Introduction au Sujet 49 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 49 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaie un spectre large du programme, allant de la géométrie analytique aux suites numériques, sans oublier les probabilités conditionnelles et l'analyse de fonctions avec l'exponentielle. Globalement, ce sujet est d'une difficulté équilibrée, demandant à la fois de la rigueur calculatoire et une bonne compréhension des concepts algorithmiques en Python.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de type QCM teste la rapidité et l'agilité sur cinq thèmes distincts.

Notions clés :

• Géométrie repérée : Il faut savoir passer d'une équation cartésienne $ax+by+c=0$ à un vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$ ou normal $\vec{n}(a; b)$. Le piège classique est l'inversion des signes ou des coordonnées.
• Cercles et intersections : L'étude de l'intersection entre un cercle et une droite nécessite souvent de remplacer $y$ par sa valeur dans l'équation du cercle pour obtenir un polynôme du second degré.
• Trigonométrie : La parité de la fonction $\cos(2x)$ et sa période sont des points de cours essentiels. Rappelons que $\cos(-X) = \cos(X)$.
• Algorithmique (Python) : La question 4 demande d'identifier la structure d'une boucle pour calculer les termes d'une suite. L'attention doit porter sur l'initialisation de la variable et la syntaxe de la boucle range.

Conseil méthodologique : Procédez par élimination. Si vous trouvez qu'un point n'appartient pas à une droite, rayez immédiatement l'option correspondante sans perdre de temps sur les autres calculs.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice traite du contrôle qualité de boîtes de thé. C'est un exercice classique de probabilités conditionnelles.

Analyse : La première étape consiste à construire un arbre pondéré. Une erreur fréquente est de placer les probabilités d'intersection sur les branches, alors qu'il faut y placer les probabilités conditionnelles (ex: $P_A(T)$). Pour la question 4, l'application de la formule des probabilités totales est indispensable. Elle permet de justifier la probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides. Enfin, la dernière question utilise la formule de Bayes (calculer $P_T(B)$), ce qui demande de bien distinguer la probabilité de l'événement sachant un autre.

Pièges à éviter : Ne pas confondre $P(A \cap T)$ (la boîte vient de A ET est contaminée) avec $P_A(T)$ (SACHANT qu'elle vient de A, elle est contaminée).

Exercice 3 : Suites et Modélisation Financière

Le commerçant doit choisir entre une augmentation fixe (suite arithmétique) et une augmentation proportionnelle (suite géométrique).

Développement : Le contrat 1 suit une progression arithmétique de raison $r=5$. Le contrat 2 suit une progression géométrique de raison $q=1,02$ (car augmenter de 2%, c'est multiplier par 1,02). L'aspect Python ici demande de compléter un script. Notez que pour calculer le $n$-ième terme, la boucle for i in range(1, n) effectue $n-1$ itérations, ce qui est correct pour passer de $u_1$ à $u_n$.

Analyse comparative : La question finale demande le coût total sur 3 ans (36 mois). Il faut donc calculer la somme des termes des deux suites. C'est ici que les formules de cours sont vitales :

• Somme arithmétique : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
• Somme géométrique : $S = \text{premier terme} \times \frac{1-q^{\text{n}}}{1-q}$.

Exercice 4 : Analyse de fonction et Exponentielle

Cet exercice mélange lecture graphique et calcul algébrique sur une fonction de type $(ax+b)e^{-0,1x}$.

Notions clés : L'exploitation de la tangente au point $A(0;5)$ est cruciale. Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ correspond à $f'(0)$. On le calcule par $\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Pour la dérivation, il faut utiliser la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, avec l'exponentielle, ne pas oublier que la dérivée de $e^{kx}$ est $k e^{kx}$.

Optimisation : L'étude du signe de la dérivée $f'(x)$ permet de dresser le tableau de variations. Comme l'exponentielle est toujours positive, le signe de $f'(x)$ dépend uniquement du facteur linéaire $(-0,4x + 3,5)$. Le maximum est atteint là où la dérivée s'annule et change de signe.

Conclusion

Ce sujet 49 est complet. Il demande une maîtrise parfaite des outils de base de la Première Spécialité : l'art de dériver, la gestion des suites et l'interprétation des probabilités. Pour réussir, entraînez-vous particulièrement sur l'écriture des fonctions Python et le calcul de sommes de suites, qui sont souvent les points où les élèves perdent le plus de temps.