Introduction au Sujet 46 de l'E3C Première Spécialité

Le sujet 46 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de première offre un panorama complet des compétences attendues en fin d'année. Ce sujet, structuré en quatre exercices de 5 points chacun, balaie des thématiques centrales : la géométrie repérée, le calcul algébrique, les probabilités conditionnelles, les suites numériques et l'analyse de fonctions. C'est un excellent support pour réviser avant une évaluation commune ou pour consolider ses bases sur le programme de spécialité.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice teste la rapidité et la précision des connaissances fondamentales. Les cinq questions couvrent des domaines variés :

• Produit Scalaire : La première question demande d'utiliser la formule trigonométrique du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$. Le piège réside ici dans la mesure de l'angle $\frac{5\pi}{3}$, dont le cosinus doit être correctement identifié ($\frac{1}{2}$).
• Géométrie et Trigonométrie : La deuxième question fait appel à l'expression analytique du produit scalaire $xx' + yy'$. Un calcul simple montre que $\sin(a) \times (-\cos(a)) + \cos(a) \times \sin(a) = 0$, prouvant l'orthogonalité des vecteurs.
• Équation de Tangente : On demande l'équation réduite de la tangente à $f(x) = \frac{3}{x}$ en $a=1$. Rappelons la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$.
• Second Degré : Résoudre $x^2 - 6x + 5 = 0$ nécessite le calcul du discriminant $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 16$. Les racines sont alors directes.

Exercice 2 : Probabilités et Gains Algébriques

La première partie repose sur la construction d'un arbre pondéré. L'élève doit être vigilant sur les probabilités conditionnelles : si Maxime perd la première ($P(\overline{G_1}) = 0,8$), il perd la seconde avec une probabilité de 0,6, ce qui signifie qu'il la gagne avec $P_{\overline{G_1}}(G_2) = 0,4$.

Le calcul de la probabilité totale pour $G_2$ (la victoire à la seconde partie) est un grand classique. On utilise la formule des probabilités totales : $P(G_2) = P(G_1 \cap G_2) + P(\overline{G_1} \cap G_2)$.

Dans la Partie B, l'introduction d'une variable aléatoire X transforme l'exercice de probabilités pures en exercice de statistiques financières. Pour vérifier si le jeu est équitable, il faut calculer l'espérance $E(X) = \sum p_i x_i$. Si $E(X) = 0$, le jeu est équitable. Ici, il faut faire attention aux gains relatifs : deux victoires rapportent $+3€$, une victoire et une défaite rapportent $+0,50€$, et deux défaites entraînent une perte de $-2€$.

Exercice 3 : Suites et Algorithmique Python

L'exercice compare deux modèles de croissance : une croissance linéaire (Suite Arithmétique) et une croissance exponentielle (Suite Géométrique).

• Contrat 1 : Le loyer augmente de façon constante (+200€). C'est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3600$ et de raison $r = 200$. La formule explicite est $u_n = u_0 + n \times r$.
• Contrat 2 : L'augmentation est de 5%, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1,05$. C'est une suite géométrique $v_n = v_0 \times q^n$.

La question sur le script Python est cruciale. La boucle while u >= v continue tant que le contrat 1 est plus cher (ou égal) au contrat 2. Si le script renvoie $n=6$, cela signifie que c'est à partir de l'année $2020+6=2026$ que le contrat 2 devient strictement plus onéreux que le contrat 1.

Exercice 4 : Analyse et Dérivation (Les Pucerons)

Cet exercice lie la lecture graphique à l'étude analytique. La Partie A demande de lire une pente (coefficient directeur) pour trouver $f'(0)$. On utilise la formule $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

La Partie B demande une étude de fonction rigoureuse. On dérive le polynôme de degré 3 : $f'(t) = 0,009t^2 - 0,24t + 1,1$. Pour trouver les variations, il faut étudier le signe de ce trinôme du second degré (calcul de $\Delta$). Ce type d'exercice est fondamental car il permet de modéliser un phénomène biologique (prolifération d'insectes) et d'en déterminer les extremums (le nombre maximal de pucerons).

Conclusion

Ce sujet 46 est très équilibré. Il ne présente pas de difficultés majeures mais exige une excellente maîtrise des formules de cours. Un élève de première doit particulièrement soigner la rédaction de l'étude de signe de la dérivée (Exercice 4) et la justification des probabilités totales (Exercice 2) pour maximiser ses points.