Introduction : Analyse du Sujet 5 de Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 5 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première est un excellent support de révision. Il balaye un spectre large du programme, allant de la géométrie analytique aux suites numériques, en passant par l'analyse de fonctions et les probabilités conditionnelles. La difficulté globale est jugée équilibrée : les questions de base permettent de sécuriser des points, tandis que les démonstrations de calcul de dérivée ou la logique algorithmique demandent une rigueur accrue.

Exercice 1 : Un QCM multi-thématique

Cet exercice de 5 points teste la réactivité de l'élève sur des notions fondamentales :

• Trigonométrie : La question 1 porte sur la parité et la périodicité. Il faut se rappeler que $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour identifier l'imparité de $f$. La question 2 demande la résolution d'une équation trigonométrique élémentaire du type $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nécessitant une parfaite connaissance du cercle trigonométrique.
• Produit Scalaire : La question 3 évalue la capacité à utiliser la définition du produit scalaire avec le cosinus. Le piège ici est l'orientation des vecteurs $\vec{DA}$ et $\vec{DC}$.
• Géométrie Repérée : Les questions 4 et 5 portent sur les équations de droites. Il est crucial de savoir qu'un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ définit une droite $ax + by + c = 0$. Pour la perpendicularité, le produit scalaire des vecteurs directeurs (ou normaux) doit être nul.

Conseil méthodologique : Dans un QCM sans point négatif, ne laissez aucune case vide. Procédez par élimination pour gagner du temps.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Arbres

L'exercice 2 se concentre sur un test de dépistage médical, un classique du programme de Première. Les élèves doivent construire un arbre pondéré à deux niveaux ($M$ et $T$).

Les notions clés sont :

• La probabilité de l'intersection : $P(\bar{M} \cap T) = P(\bar{M}) \times P_{\bar{M}}(T)$.
• La loi des probabilités totales : Pour calculer $P(T)$, il faut sommer les probabilités des chemins menant à un test positif.
• La probabilité inverse (Formule de Bayes) : $P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}$.

Piège à éviter : Ne pas confondre $P_T(M)$ (probabilité d'être malade sachant le test positif) et $P_M(T)$ (probabilité que le test soit positif sachant qu'on est malade). La question 5 souligne l'importance de l'interprétation concrète des résultats mathématiques.

Exercice 3 : Analyse et Optimisation de la Consommation

Ce problème de modélisation utilise la dérivation pour optimiser la consommation d'essence d'un véhicule. Après une phase de lecture graphique simple, l'élève doit manipuler une fonction rationnelle.

La démonstration du calcul de la dérivée $f'(x)$ est l'étape la plus technique. Il faut utiliser la règle du quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ou simplifier l'expression avant de dériver. L'étude du signe de $f'(x)$ (qui dépend uniquement du signe de $2x - 100$ puisque $x^3$ et $800$ sont positifs sur l'intervalle) permet de dresser le tableau de variations et de confirmer la vitesse optimale (50 km/h).

Exercice 4 : Suites et Algorithmique Python

Le dernier exercice porte sur les suites numériques définies par une formule explicite $u_n = f(n)$.

• L'étude de la variation se fait via le calcul de la différence $u_{n+1} - u_n$. Le résultat négatif montre que la suite est décroissante.
• La partie Python demande de compléter une fonction de recherche de seuil. L'élève doit comprendre que la boucle while continue tant que la condition n'est pas remplie (ici $u_n > a$) pour s'arrêter dès que $u_n \le a$.

Focus Python : Assurez-vous de bien comprendre l'indentation et la mise à jour de la variable n = n + 1 à chaque itération.

Conclusion

Ce sujet 5 est très complet. Pour réussir, l'élève doit maîtriser les automatismes de calcul (dérivées, produit scalaire) mais aussi savoir interpréter un énoncé concret. Une révision régulière des formules de géométrie plane et une pratique assidue de l'algorithmie sont les clés de la réussite pour cette épreuve.