Analyse du Sujet 41 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 41 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première est un excellent support de révision. Il balaie un spectre large du programme officiel, allant de la géométrie analytique aux suites numériques, en passant par les probabilités et l'étude de fonctions. Globalement, ce sujet est d'une difficulté moyenne, équilibré pour tester à la fois les connaissances théoriques et les capacités d'application pratique (notamment via Python).

Exercice 1 : QCM de Géométrie et Trigonométrie (5 points)

Cet exercice repose sur la rapidité et la précision. Les thèmes abordés sont le produit scalaire, la géométrie repérée (cercles) et la trigonométrie.

• Notions clés : Calcul de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec les coordonnées ($xx' + yy'$), distance entre deux points, propriétés de perpendicularité et équation cartésienne d'un cercle.
• Pièges à éviter : Dans la question 1, attention aux signes lors du calcul du produit scalaire avec les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CB}$. Dans la question 5, pour trouver le centre du cercle, il faut transformer l'équation $x^2 - 2x + (y+3)^2 = 3$ en sa forme canonique $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Ici, $x^2 - 2x$ devient $(x-1)^2 - 1$.
• Conseils méthodologiques : Pour la trigonométrie (question 4), rappelez-vous que la fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$. Cela permet de répondre instantanément sans calcul complexe.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Indépendance (5 points)

Un exercice classique de dénombrement et de probabilités au sein d'une population lycéenne.

• Notions clés : Probabilités simples, intersection d'événements ($G \cap \overline{S}$), probabilités conditionnelles et test d'indépendance ($P(G \cap S) = P(G) \times P(S)$).
• Pièges à éviter : Ne confondez pas $P(\overline{S})$ (probabilité de ne pas poursuivre la spécialité) avec la probabilité conditionnelle $P_{\overline{S}}(G)$ demandée à la question 2. Lisez bien l'énoncé : « L'élève interrogé ne poursuit pas la spécialité » signifie que l'on se place dans l'univers restreint de $\overline{S}$.
• Conseils méthodologiques : Construire un tableau de contingence ou un arbre pondéré dès le début de l'exercice permet de visualiser toutes les données et d'éviter les erreurs de lecture.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique Python (5 points)

Cet exercice lie les mathématiques pures à l'informatique, une compétence clé de la réforme du lycée.

• Notions clés : Suites géométriques, somme des termes, modélisation d'une baisse en pourcentage ($1 - r$) et suites arithmético-géométriques.
• Pièges à éviter : Dans la partie B, pour l'année 2035, calculez bien le rang $n$. Si $2016$ correspond à $n=0$, alors $2035$ correspond à $n=19$. Une erreur de rang fausse tout le résultat final.
• Analyse Python : La fonction proposée calcule les termes d'une suite de type $u_{n+1} = a u_n + b$. Il est crucial de comprendre que la boucle `range(1, N+1)` effectue $N$ itérations, correspondant à $N$ années d'évolution de la population.

Exercice 4 : Analyse de Fonction et Dérivation (5 points)

L'étude d'une fonction rationnelle sur un intervalle restreint ($]-\infty ; 2[$).

• Notions clés : Dérivée d'un quotient ($u/v$), signe de la dérivée, tableau de variations et équation de la tangente ($y = f'(a)(x-a) + f(a)$).
• Pièges à éviter : Lors du calcul de $f'(x)$, soyez extrêmement rigoureux avec le développement du numérateur $u'v - uv'$. Une erreur de signe ici rendrait le tableau de variations incohérent avec l'esquisse demandée à la fin.
• Conseils méthodologiques : Pour l'esquisse de la courbe, placez d'abord le point d'abscisse 1 et tracez la tangente $D$. Cela donne une direction précise à la courbe au voisinage de ce point. Vérifiez également la présence d'une valeur interdite en $x=2$ (asymptote verticale potentielle).

Conclusion

Ce sujet 41 est complet. Il demande une bonne maîtrise technique (calcul de dérivées, formules de géométrie) mais aussi une capacité à interpréter des résultats dans un contexte réel (population, algorithme). C'est un entraînement idéal pour valider les acquis de l'année de Première.