Introduction : Un panorama complet du programme de Première Spécialité

Le sujet 42 de l'année 2020 pour la Spécialité Mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaye un spectre large de compétences : de l'analyse de fonctions à la géométrie analytique, en passant par les probabilités conditionnelles et l'algorithmique. Ce sujet est particulièrement représentatif des attentes du baccalauréat, mêlant exercices techniques (QCM) et problèmes de modélisation plus complexes. Sa difficulté est jugée équilibrée, permettant aux élèves sérieux de valider leurs acquis tout en proposant quelques défis d'interprétation, notamment dans l'exercice final de trigonométrie appliquée.

Exercice 1 : Le QCM de balayage technique

Cet exercice de 5 points nécessite une grande rigueur. Bien qu'aucune justification ne soit demandée, l'erreur de calcul est fatale.

Notions clés : Équation de tangente, produit scalaire, équations de droites, suites géométriques et algorithmique Python.

• La tangente : La question 1 demande de trouver l'équation de la tangente à $g(x) = 2x^2 + 5x - 4$ en $x=2$. Rappelez-vous de la formule fondamentale $y = g'(a)(x-a) + g(a)$. Il faut dériver correctement $g'(x) = 4x + 5$ pour obtenir le coefficient directeur.
• Géométrie repérée : Pour le produit scalaire $\vect{AD} \cdot \vect{BD}$, la méthode la plus sûre est de calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AD}(x_D-x_A ; y_D-y_A)$ et $\vect{BD}(x_D-x_B ; y_D-y_B)$ puis d'appliquer $xx' + yy'$.
• Algorithmie : La question sur Python teste la compréhension de la boucle while. Pour que l'algorithme s'arrête exactement quand le seuil est dépassé, la condition de maintien dans la boucle doit être l'inverse de l'objectif (donc rester tant que la valeur est inférieure au seuil).

Pièges à éviter : Dans la question 4 sur les suites, attention à la raison $q = -1,2$. Comme elle est négative, la suite est alternée. Cependant, $u_{3000}$ est une puissance paire, ce qui rend le terme positif et très grand en valeur absolue.

Exercice 2 : Probabilités et arbres pondérés

L'exercice porte sur une cave à fromages. C'est un grand classique des probabilités conditionnelles.

Notions clés : Arbre de probabilités, probabilités totales, inversion de conditionnement (formule de Bayes).

• Construction : Il faut d'abord traduire les angles du diagramme circulaire en probabilités. Le fromage de brebis représente 54 degrés sur 360, soit $P(B) = 54/360 = 0,15$.
• Probabilités totales : Pour démontrer que $P(A) = 0,675$, vous devez sommer les probabilités des trois chemins menant à 'A' (Vache-Affiné, Chèvre-Affiné, Brebis-Affiné).
• Calcul inverse : La question 3 demande $P_A(V)$. Utilisez la définition $P(V \cap A) / P(A)$. C'est une question type examen qui tombe presque systématiquement.

Conseil méthodologique : Vérifiez toujours que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1.

Exercice 3 : Optimisation et Second Degré

Ce problème lie l'étude d'une fonction rationnelle à un problème d'aire géométrique.

Notions clés : Signe d'un trinôme, étude de fonction, dérivation du quotient.

• Partie A : L'étude du signe de $-10x^2 - 40x + 120$ nécessite le calcul du discriminant $\Delta$. Les racines permettent de dresser le tableau de signes (signe de $a$ à l'extérieur des racines).
• Partie B : L'aire $f(x)$ est donnée. Pour trouver l'aire maximale, il faut dériver $f(x)$. Le numérateur de la dérivée sera directement lié au trinôme de la partie A. C'est une structure de sujet très courante où la partie A aide à résoudre la partie B.

Pièges à éviter : Ne pas oublier que $x$ est restreint à l'intervalle $[0 ; 8]$. Une racine située hors de cet intervalle ne doit pas être prise en compte pour l'extremum.

Exercice 4 : Trigonométrie et électricité

L'exercice final traite d'une tension sinusoïdale, un contexte physique qui peut déstabiliser certains élèves de Première.

Notions clés : Fonctions sinus, périodicité, résolution d'inéquations trigonométriques.

• Périodicité : La relation $u(t + 2/100) = u(t)$ prouve que la fonction est périodique de période $T = 0,02$ s.
• Diode passante : Il faut comparer la valeur de $u(t)$ au seuil $\sqrt{3}/2$. À $t=0$, $u(0) = \sqrt{3} \sin(\pi/3) = \sqrt{3} \times (\sqrt{3}/2) = 1,5$. Comme $1,5 > \sqrt{3}/2$, la diode est passante.
• Lecture graphique : La conjecture graphique doit être confirmée par le calcul de $u(0,005)$. Si le résultat est inférieur ou égal au seuil, la diode est devenue non passante.

Conclusion

Ce sujet 42 est une excellente synthèse. Il demande à la fois de la rapidité sur les bases (QCM) et de la profondeur d'analyse sur l'optimisation et les probabilités. Pour réussir, concentrez-vous sur la maîtrise des formules de dérivation et la lecture attentive des énoncés de probabilités. La trigonométrie reste le point le plus technique : entraînez-vous à manipuler les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.