Analyse de l'énoncé et modélisation

Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Sud 2015, propose une application concrète des concepts de géométrie plane. Le contexte est celui d'une charpente symétrique. La structure principale est représentée par le triangle $ABC$, où la poutre $[CD]$ sert d'axe de symétrie. Cela implique que le triangle $ACD$ est rectangle en $D$ et que $D$ est le milieu du segment $[AB]$. Avec une portée totale $AB = 9$ m, nous en déduisons que $AD = 4,5$ m.

1. Calcul de la hauteur CD (Trigonométrie)

Dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$, nous connaissons le côté adjacent à l'angle $\widehat{CAD}$ ($AD = 4,5$ m) et nous cherchons le côté opposé ($CD$). La fonction trigonométrique appropriée est la tangente :

$\tan(\widehat{CAD}) = \frac{CD}{AD} \implies \tan(25^\circ) = \frac{CD}{4,5}$

En isolant $CD$, on obtient : $CD = 4,5 \times \tan(25^\circ) \approx 4,5 \times 0,4663 \approx 2,098$ m.

Arrondi au centimètre près, la hauteur $CD$ est bien de 2,10 m.

2. Calcul de la longueur AC (Théorème de Pythagore)

Le triangle $ACD$ étant rectangle en $D$, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore :

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$AC^2 = 4,5^2 + 2,1^2 = 20,25 + 4,41 = 24,66$

$AC = \sqrt{24,66} \approx 4,9658$ m.

La valeur arrondie au centimètre est donc 4,97 m.

3. Calcul de la longueur DI (Théorème de Thalès)

L'énoncé précise que les poutres $[AC]$ et $[HI]$ sont parallèles. De plus, les points $D, I, C$ sont alignés ainsi que $D, H, A$. Nous sommes dans une configuration de Thalès de sommet $D$. Le marquage régulier sur le schéma indique que $HD = \frac{2}{3} AD$ (soit $3$ m car $AD = 4,5$ m divisé en trois segments égaux).

D'après le théorème de Thalès : $\frac{DI}{DC} = \frac{DH}{DA} = \frac{HI}{AC}$.

En utilisant le rapport $\frac{DI}{DC} = \frac{3}{4,5}$, on obtient : $DI = \frac{3}{4,5} \times 2,10 = \frac{2}{3} \times 2,10 = 1,40$ m.

La longueur $DI$ est donc de 1,40 m.

4. Calcul de la longueur JD (Méthodes de résolution)

Le point $J$ est situé sur $[HI]$ tel que $[JD]$ soit perpendiculaire à $[HI]$. Voici deux approches :

• Méthode 1 : Trigonométrie dans le triangle rectangle. Puisque $(HI) \parallel (AC)$, l'angle $\widehat{IHD}$ est égal à l'angle $\widehat{CAD}$ par correspondance (angles correspondants), soit $25^\circ$. Dans le triangle $HJD$ rectangle en $J$, on a : $\sin(25^\circ) = \frac{JD}{HD} \implies JD = 3 \times \sin(25^\circ) \approx 1,27$ m.
• Méthode 2 : Utilisation des aires ou du coefficient de réduction. On peut calculer la hauteur issue de $D$ dans le triangle $ACD$ (appelons-la $h$). $h = \frac{AD \times CD}{AC} = \frac{4,5 \times 2,1}{4,97} \approx 1,90$ m. Comme le triangle $HDI$ est une réduction du triangle $ADC$ de rapport $k = \frac{2}{3}$, la hauteur $JD$ est égale à $k \times h$, soit $\frac{2}{3} \times 1,90 \approx 1,27$ m.

Points de vigilance

• Vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode Degrés avant d'utiliser les fonctions sinus ou tangente.
• Ne confondez pas le côté adjacent et l'hypoténuse lors de l'application des formules trigonométriques.
• Pensez à bien justifier le parallélisme avant d'utiliser le théorème de Thalès.