Analyse de l'énoncé : Volumes, Calcul Littéral et Fonctions

Cet exercice du Diplôme National du Brevet (DNB) 2020, série Nouvelle-Calédonie, est particulièrement complet. Il met en jeu la capacité de l'élève de 3ème à mobiliser simultanément plusieurs compétences clés du programme : la géométrie dans l'espace (volumes), le calcul littéral et l'étude des fonctions. L'objectif est de comparer le volume d'une « case » (cylindre + cône) avec celui d'une « maison » (prisme droit) en fonction d'une variable $x$ (le diamètre).

Partie 1 : Maîtrise des Formules de Volume

La première partie est un test direct de la mémorisation et de l'application des formules de volume pour les solides de révolution, dans le cas particulier où $x=6$ m. La case est composée :

• D'un cylindre : Le diamètre est $x=6$ m, donc le rayon $r=3$ m. La hauteur $h=2$ m. La formule $V_{ ext{cylindre}} = \pi r^2 h$ donne $V = \pi imes 3^2 imes 2 = 18\pi ext{ m}^3$.
• D'un cône : Le rayon est le même, $r=3$ m. La hauteur $h=1$ m. La formule $V_{ ext{cône}} = rac{1}{3} \pi r^2 h$ donne $V = rac{1}{3} imes \pi imes 3^2 imes 1 = 3\pi ext{ m}^3$.

Le volume total exact est donc $18\pi + 3\pi = 21\pi ext{ m}^3$. Il est crucial de savoir gérer les valeurs exactes (en fonction de $\pi$) et les arrondis demandés (ici, environ 66 m$^3$).

Partie 2 : Fonctions et Représentation Graphique

La seconde partie permet de passer d'un calcul ponctuel à une modélisation générale via les fonctions. La fonction de volume de la maison, $V(x) = 12,5 x$, est une **fonction linéaire**. Cette reconnaissance est essentielle, car elle implique que sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère, facilitant ainsi son tracé. Pour le tracé, le calcul de l'image de 8 ($V(8)=100$) ou de 4 ($V(4)=50$) fournit un point clé.

Enfin, la comparaison des deux constructions pour $x \le 6$ m se fait soit par lecture graphique (la courbe située au-dessus est celle du volume maximal) soit par calcul. Sachant que $V_{ ext{case}}(6) \approx 66 ext{ m}^3$ et $V_{ ext{maison}}(6) = 75 ext{ m}^3$, la maison offre le plus grand volume pour la limite maximale de $x$. Cette dernière question synthétise la capacité d'analyse et de décision de l'élève en utilisant les outils mathématiques.