Analyse de l'énoncé

Cet exercice, tiré du Brevet 2020, est un grand classique du cycle 4. Il vise à tester votre maîtrise de trois compétences fondamentales : l'application rigoureuse d'un Programme de calculs, la traduction de ce programme en une expression littérale, et l'utilisation des identités remarquables pour simplifier cette expression. Enfin, il se conclut par une résolution d'équation du second degré simple.

Le programme de calcul présenté est conçu spécifiquement pour vous amener à reconnaître et à utiliser l'identité remarquable $(a+b)(a-b)$, car il demande de multiplier la somme ($x+7$) par la différence ($x-7$) du nombre choisi au départ et de 7.

Points clés et méthodes de résolution

1. Application Numérique (Q1 & Q2) : Les deux premières questions servent de mise en bouche. Il est crucial de suivre l'ordre des étapes scrupuleusement. Si $x=2$, on calcule $ (2+7) imes (2-7) + 50 $. Ces résultats permettent de vérifier la cohérence du résultat final obtenu par le calcul littéral.
2. Calcul Littéral et Identités Remarquables (Q3 & Q4) : C'est le cœur de l'exercice. Si $x$ est le nombre de départ, l'expression obtenue est $E = (x+7)(x-7) + 50$. Il faut impérativement reconnaître l'identité remarquable : $(x+7)(x-7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$. En ajoutant 50, l'expression se simplifie en $x^2 + 1$. Cette simplification est essentielle pour prouver que la conjecture de l'élève (Q3, le résultat est $2x+1$) est fausse, car $x^2 + 1 e 2x + 1$ pour la plupart des valeurs de $x$.
3. Résolution d'Équation (Q5) : Il s'agit de résoudre $x^2 + 1 = 17$. Après simplification, on obtient $x^2 = 16$. Il est capital de ne pas oublier qu'une équation de type $x^2 = k$ (avec $k>0$) admet toujours deux solutions opposées : la racine carrée positive et la racine carrée négative. Dans ce cas, les solutions sont $x=4$ et $x=-4$.

La réussite de cet exercice repose sur la capacité à automatiser la traduction d'instructions en langage mathématique et la mémorisation des formules de développement et de factorisation, outils indispensables pour le Brevet.