Analyse de l'énoncé : Un parcours complet pour le Brevet

Cet exercice est un classique du Diplôme National du Brevet (DNB) car il fait appel à une gamme très large de notions fondamentales. Il se décompose clairement en deux parties : une première partie purement géométrique (questions 1 à 3) qui utilise les outils de mesure de distances et d'angles, et une seconde partie d'application pratique (questions 4 et 5) axée sur la proportionnalité, les durées et le calcul de vitesse moyenne.

La figure géométrique, souvent appelée configuration « en papillon » ou « en nœud de cravate », est le signal d’un usage du Théorème de Thalès. Les droites sécantes (AE) et (BD) se coupent en C, et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Ces conditions permettent de calculer les longueurs manquantes.

Points clés : De la Géométrie à la Trigonométrie

• Question 1 (Thalès) : Pour calculer la longueur DE, nous appliquons le théorème de Thalès. Nous avons l'égalité des rapports $CB/CD = AB/DE$. En remplaçant par les valeurs connues ($CB=500$, $CD=700$, $AB=400$), il est facile d'isoler $DE$. Attention à bien identifier les paires de côtés correspondantes.
• Question 2 (Pythagore Réciproque) : Pour prouver que le triangle ABC est rectangle, il faut vérifier si la réciproque du théorème de Pythagore est satisfaite. On teste si $AC^2 + AB^2 = BC^2$. $300^2 + 400^2 = 90000 + 160000 = 250000$. Comme $500^2 = 250000$, l'égalité est vérifiée et le triangle est bien rectangle en A.
• Question 3 (Trigonométrie) : Le triangle étant rectangle en A, nous pouvons utiliser la trigonométrie (SOH CAH TOA) pour trouver l'angle $\widehat{ABC}$. En utilisant le Cosinus (Adjacent/Hypoténuse), $\cos(\widehat{ABC}) = AB/BC = 400/500 = 0,8$. L'arrondi au degré est exigé.

Le Challenge Vitesse et Durée (Proportionnalité)

Les questions 4 et 5 sont essentielles pour valider les compétences de proportionnalité et de gestion des unités. Après avoir calculé la distance totale parcourue sur 5 tours, l'étape la plus délicate est la conversion de la durée totale (1 h 48 min) en heures décimales (sachant que $48 ext{ min} = 48/60 ext{ h} = 0,8 ext{ h}$). Cette conversion est indispensable pour obtenir la vitesse moyenne en km/h, généralement l'unité attendue pour ce type de course.