Analyse de l'énoncé : Volumes et Proportionnalité appliqués au stockage

Cet exercice, extrait du Brevet 2014 en Nouvelle-Calédonie, est un excellent cas pratique qui explore deux notions fondamentales du programme de 3ème : le calcul des volumes (spécifiquement la sphère) et la proportionnalité, appliquée ici à la masse volumique (densité) du butane. Il demande rigueur dans l'application des formules et une attention particulière aux unités de mesure.

Points clés et étapes de résolution

1. Maîtriser le Volume de la Sphère (Question 1)

La première étape consiste à utiliser correctement la formule du volume d'une boule : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3$. Attention au piège classique : l'énoncé donne le diamètre (D = 19,7 m). Il est impératif de calculer le rayon $R = D / 2 = 19,7 / 2 = 9,85$ m. En appliquant la formule, on obtient $V = \frac{4}{3} \times \pi \times (9,85)^3 \approx 4000,98$ m³. Ce résultat confirme bien l'approximation de 4000 m³ demandée.

2. Conversion Masse-Volume (Proportionnalité) (Question 2)

Pour convertir la masse de butane importée (1200 tonnes) en volume, nous utilisons la masse volumique : 1 m³ pèse 580 kg. C'est l'étape où la gestion des unités est primordiale.

• Harmonisation des unités : Convertir les tonnes en kilogrammes : $1200 ext{ tonnes} = 1200 imes 1000 = 1 200 000 ext{ kg}$.
• Calcul du volume : Le volume $V$ est obtenu en divisant la masse $M$ par la masse volumique $\rho$ ($V = M / \rho$). $V = 1 200 000 ext{ kg} / 580 ext{ kg/m}^3 \approx 2068,96$ m³.
• Arrondi : En arrondissant à l'unité, le volume de butane à stocker est de 2069 m³ environ.

C'est un exercice typique de proportionnalité où la masse volumique agit comme coefficient directeur d'une fonction linéaire.

3. Synthèse et Capacité de Stockage (Question 3)

La dernière question nécessite de comparer le volume nécessaire (2069 m³) avec la capacité de stockage disponible. Le volume total des deux petites sphères est : $V_{\text{petits}} = 1000 ext{ m}^3 + 600 ext{ m}^3 = 1600 ext{ m}^3$. Étant donné que $1600 ext{ m}^3 < 2069 ext{ m}^3$, les deux plus petites sphères ne suffisent pas à elles seules. Il sera nécessaire d'utiliser la grande sphère, ou du moins une partie de sa capacité de 4000 m³, pour accueillir les 1200 tonnes de butane.