Analyse de l'énoncé
Cet exercice du Brevet 2014 de Pondichéry est un excellent entraînement pour la classe de 3ème. Il s'agit d'un problème complet qui évalue trois compétences clés : le calcul des volumes d'objets usuels (cylindre, cône), la maîtrise de l'agrandissement-réduction en géométrie, et l'interprétation d'une fonction liée à ces volumes, en particulier l'évolution de la quantité de liquide en fonction de la hauteur de remplissage.
1. Calcul du Volume de la Partie Cylindrique
Le volume d'un cylindre est calculé par la formule : $V = \pi r^2 h$. D'après le schéma, le diamètre de la base est de 10 cm, donc le rayon est $r=5$ cm. La hauteur est $h=15$ cm.
Calcul du volume exact : $V_{\text{cylindre}} = \pi \times 5^2 \times 15 = 375 \pi$ cm$^3$.
Arrondi au cm$^3$ : $V_{\text{cylindre}} \approx 1178$ cm$^3$.
2. Volume du Tronc de Cône
2.a. Volume du Grand Cône ($V_1$)
La formule du volume d'un cône est $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Avec $R=5$ cm et $H=6$ cm :
$V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 6 = 50 \pi$ cm$^3$.
2.b. Volume du Tronc de Cône ($V_2$)
Le tronc de cône s'obtient en soustrayant le volume du petit cône (hauteur $h'=2$ cm) du grand cône ($V_1$).
Le coefficient de réduction est $k = \frac{h'}{H} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Le volume du petit cône est réduit par un facteur $k^3$: $V_{\text{petit}} = k^3 \times V_1 = (\frac{1}{3})^3 \times 50 \pi = \frac{50 \pi}{27}$ cm$^3$.
Le volume du tronc de cône $V_2$ est donc :
$V_2 = V_1 - V_{\text{petit}} = 50 \pi - \frac{50 \pi}{27} = \frac{50 \pi \times 27 - 50 \pi}{27} = \frac{(1350 - 50) \pi}{27} = \frac{1300 \pi}{27}$ cm$^3$. (Vérification effectuée).
Valeur arrondie au cm$^3$ : $V_2 \approx 152$ cm$^3$.
3. Analyse de la Fonction Volume V(h)
La forme du graphique $V(h)$ dépend de la géométrie de la bouteille à chaque niveau de hauteur.
- De $h=0$ à $h=15$ (Cylindre) : La section est constante. Le volume augmente proportionnellement à la hauteur. La courbe est linéaire (une droite) avec une forte pente. (Ceci élimine le Graphique 4 car $V(0)$ doit être 0).
- De $h=15$ à $h=19$ (Tronc de Cône) : La bouteille se rétrécit vers le haut (le rayon diminue). Le taux de remplissage (la pente de $V(h)$) diminue. La courbe doit être croissante mais avec une pente de plus en plus faible. (Ceci élimine le Graphique 2 qui est décroissant et le Graphique 3 qui montre une accélération).
- De $h=19$ à $h=21$ (Goulot) : La section redevient constante (petit cylindre). $V(h)$ redevient linéaire, mais avec une très petite pente.
Le Graphique 1 est le seul qui traduit correctement cette évolution : une première pente forte et linéaire, suivie d'une pente moins forte et linéaire (simplification du tronc de cône), puis d'une pente encore plus faible (goulot).