Analyse de l'énoncé et Identification des Outils Géométriques
Cet exercice de géométrie appliquée est un excellent classique du Brevet, car il nécessite l'utilisation combinée de plusieurs théorèmes fondamentaux : Pythagore et Thalès. L'objectif est de calculer la longueur de deux parcours distincts, ACDA et AEFA, afin de déterminer lequel se rapproche le plus de la distance idéale de 4 km. Nous devons identifier pour chaque parcours quel outil mathématique utiliser pour trouver les longueurs manquantes.
Pour le parcours ACDA, le triangle est rectangle en C (indiqué par le codage). Nous utiliserons le théorème de Pythagore. Pour le parcours AEFA, la présence de droites parallèles (E'F') // (EF) et de segments partant du même point A nous oriente directement vers le théorème de Thalès.
Étape 1 : Calcul de la longueur du parcours ACDA (Théorème de Pythagore)
Le parcours ACDA est le périmètre du triangle rectangle ACD. La longueur manquante est l'hypoténuse AD. Nous appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACD :
- $AD^2 = AC^2 + CD^2$
- $AD^2 = 1,4^2 + 1,05^2$
- $AD^2 = 1,96 + 1,1025 = 3,0625$
- $AD = \sqrt{3,0625} = 1,75$ km.
La longueur totale du parcours ACDA est $L_1 = AC + CD + DA = 1,4 + 1,05 + 1,75 = 4,2$ km.
Étape 2 : Calcul de la longueur du parcours AEFA (Théorème de Thalès)
Le parcours AEFA est le périmètre du triangle AEF. La longueur manquante est le segment EF. Puisque les droites (E'F') et (EF) sont parallèles, nous appliquons le théorème de Thalès dans le triangle AEF :
- $\frac{AE'}{AE} = \frac{AF'}{AF} = \frac{E'F'}{EF}$
Nous utilisons les rapports qui contiennent les données connues :
- $\frac{0,5}{1,3} = \frac{0,4}{EF}$
- $EF = \frac{1,3 \times 0,4}{0,5} = \frac{0,52}{0,5} = 1,04$ km.
La longueur totale du parcours AEFA est $L_2 = AE + EF + FA = 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94$ km.
Conclusion et Choix du Parcours
Nous comparons les deux longueurs obtenues à la cible de 4 km :
- Parcours ACDA : $|4,2 - 4| = 0,2$ km d'écart.
- Parcours AEFA : $|3,94 - 4| = 0,06$ km d'écart.
Puisque 0,06 km est inférieur à 0,2 km, le parcours AEFA est celui dont la longueur s'approche le plus des 4 km souhaités. C'est le choix que la commune devrait retenir.