Analyse de l'énoncé : Géométrie, Volume et Débit
Cet exercice 5 issu du Brevet 2024 (Antilles Martinique) est un excellent exemple de l'application concrète des mathématiques. Il mobilise trois grandes notions du programme de 3ème : le calcul d'Aires et Périmètres, le Volume d'un prisme droit, et les Grandeurs Composées (débit et durée).
Partie 1 : Le calcul de l'aire de l'octogone
L'octogone EFGHIJKL est obtenu en retirant quatre triangles rectangles isocèles identiques (comme AEL) des coins d'un carré ABCD de côté 5 m.
1.a. Détermination de la longueur AE
Le côté du carré AB mesure 5 m. La longueur EF est donnée (2,2 m). Puisque l'octogone est symétrique, les longueurs AE et FB sont égales. On a : AB = AE + EF + FB, soit 5 = AE + 2,2 + AE. D'où 2 × AE = 5 - 2,2 = 2,8 m. Par conséquent, AE = 1,4 m.
1.b. Aire du triangle AEL
Le triangle AEL est rectangle isocèle en A, avec AE = AL = 1,4 m. L'aire est calculée par la formule (base × hauteur) / 2 : Aire(AEL) = (1,4 × 1,4) / 2 = 1,96 / 2 = 0,98 m².
1.c. Aire de l'octogone
L'aire de l'octogone grisé est l'aire du carré moins l'aire des quatre triangles retirés. Aire du Carré ABCD = 5² = 25 m². Aire totale des 4 triangles : 4 × 0,98 m² = 3,92 m². Aire Octogone = 25 - 3,92 = 21,08 m².
Partie 2 : Volume et Débit de remplissage
L'octogone forme la base d'une piscine de hauteur H = 1,50 m.
2.a. Volume d'eau nécessaire
Le volume total de la piscine est V_tot = Aire de base × Hauteur = 21,08 m² × 1,50 m = 31,62 m³. On souhaite remplir aux trois quarts (3/4 ou 0,75) de cette hauteur.
Volume d'eau V_eau = 0,75 × 31,62 m³ = 23,715 m³. Ce volume est bien environ égal à 24 m³.
2.b. Durée de remplissage (Grandeurs Composées)
Pour calculer la durée, il faut convertir le volume en litres : 24 m³ = 24 × 1000 L = 24 000 L. Le débit est de 12 L/min.
Durée (en minutes) = Volume / Débit = 24 000 L / 12 L/min = 2000 minutes.
Conversion en heures et minutes : 2000 minutes / 60 = 33 heures et 20 minutes (car 2000 = 33 × 60 + 20). La durée de remplissage est donc de 33 heures et 20 minutes.
Conseil de l'Expert
- Assurez-vous de ne pas confondre le calcul de l'aire (m²) et du volume (m³).
- Soyez rigoureux dans la conversion des unités, notamment de m³ en litres, et de minutes en heures/minutes.